MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

g [AB ,AC ,AD]3
En caso contrario los vectores serán linealmente independientes.
Calculamos los vectores a partir de los puntos dados:
AB=3,0,1−1,0,4=2,0 ,−3
AC = 2,0,0 −1,0 ,4=1,0 ,−4
AD=0,4,0−1,0 ,4=−1,4 ,−4
Para calcular el rango de la matriz, colocamos los vectores en tres columnas y hallamos su
determinante. Si se iguala a 0 el rango de la matriz es menos que 3, pero en caso contrario
será igual a 3:
∣
2 1 −1
0 0 4
−3 −4 −4∣
Por la regla de Sarrus podemos obtener el determinante obteniendo:
det AB ,AC ,AD=00−12−−32=20
Como el resultado es distinto de cero los vectores son linealmente independientes por ser su
rango igual a 3, por lo que los puntos no pueden ser coplanarios.
6. Calcular un vector perpendicular a los vectores u=3,2,0 y v=0,2,1 a la vez y que tenga
módulo 1.
Solución:
Calculando el producto vectorial de los dos vectores obtendremos una perpendicular a
ambos:
u xv=2,−3,6
Pero este vector no es unitario ya que su módulo no es la unidad. Si lo dividimos entre su
módulo obtendremos un vector con la misma dirección y sentido pero con módulo 1.
Llamamos al vector obtenido w
∣w∣=2 2 −3 2 6 2 =7
El vector unitario será:
u w = 2 3 6
− ,
7, 7 7
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Dados los puntos A=−2,−2 , B=3,4 ,C=8−1 . Calcular el punto D de manera que los
puntos ABCD formen un paralelogramo.
2. Calcular a y b para que los puntos A=2,−1,0 , B=3,0,1 y C=a ,b1,2 estén alineados.
3. Dados los vectores u=1,4 ,−8,v=1,−1,0 y w=1,2,3 . Calcular:
a) u xv∙v x w
b) ∣u∣,∣v x w∣
1. (3,-7)
2. a=4;b=0
3. a) 33
b) 9 ;3 3
SOLUCIONES
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