MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Tema 27
Geometría analítica en el plano
CONCEPTOS BÁSICOS
Puntos y rectas.
Ecuaciones de la recta.
Posición relativa de dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad.
Distancias entre dos puntos, dos rectas y de un punto a una recta.
Ángulo entre dos rectas.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Dados los puntos A=−1,2 y B=2,3 , calcula:
a) La distancia entre los puntos A y B .
b) La recta r que pasa por esos dos puntos en todas las formas posibles.
c) La recta que es perpendicular a r y pasa por el punto C=2,−2 .
d) La distancia del punto C a la recta r .
Solución:
a) La distancia entre dos puntos A y B es igual al módulo del vector que une A y B , es decir,
el módulo del vectorAB . EntoncesAB=OB−OA= 2,3−−1,2=3,1 ; el módulo de
este vector es ∣AB∣=3 2 1 2 =10 y por lo tanto la distancia pedida entre A y B es 10 u .
Nota: Se podría haber calculado con el vectorBA pero el resultado es el mismo ya que la distancia es igual
medirla desde A hasta B que desde B hasta A .
b) Para calcular las ecuaciones de una recta necesitamos un punto y un vector director de
esa recta. En nuestro caso vamos a utilizar el punto A=−1,2 (se podría hacer
igualmente con el punto B ) y el vector director v=AB=3,1 calculado en el apartado
anterior.
Entonces las ecuaciones de la recta en sus diferentes formas son:
Vectorial: r :x , y=−1,2k3,1, k ∈ℝ
Paramétricas: (separamos las dos coordenadas) r :{ x=−13k
k∈ℝ
y=2k
Continua: (despejamos el parámetro k e igualamos) r : x1 y−2
=
3 1
General o implícita: (eliminamos denominadores multiplicando por 3, y después pasamos
todos los términos al primer miembro) r : x1=3 y−2⇔ x−3y7=0
Explícita: (despejamos y de la ecuación anterior) r : y= x 7
3 3
155