MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Las raíces fraccionarias no enteras deben pertenecer al conjunto de números racionales no
enteros que se obtienen de dividir los divisores del término independiente entre los divisores
del coeficiente del término de mayor grado, esto es, deben estar en el conjunto que resulta
de dividir los divisores de –3 entre los divisores de 12 que son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y
±12. Este conjunto es:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3
, ,− , ,− , ,− , ,− , ,− , ,−
{ −1
2
2
3
3
4
Al probar con el primer número, obtenemos en el lugar del resto un cero
1220 1 -3
De esto se deduce que:
12 x 3 20 x 2 1
x –3=
x
4
− 1
2
6
6
-6 -7 3
1214 -6 0
12
12
2 12 x2 14 x−6=2⋅
2
2
4
3
, 4} .
2 x1
2 6x2 7x−3
Las raíces del polinomio de segundo grado son 3
2 y − 1
3 , por lo que la descomposición de
3
éste es 6 x−
2
x 1
3 =2 x−33x1 . Así, la descomposición en factores pedida es:
12 x 3 20 x 2 x−3= 2x12x−33x1.
2. Simplifica: a) 1
−1 : x1−2x2 1
, b)
1− x x−1
Solución:
1− x 2
3x 2 −x−2
a) Antes de simplificar, debemos efectuar las operaciones encerradas entre paréntesis:
1
1−11− x
−1 : x1−2x2 1 =[ 1− x x−1 1−x ] :[ xx−11−2x21 x−1
x−1 ]
Operando en los numeradores:
1
−1 : x1−2x2 1
=1−1x
1− x x−1 1− x : x 2 −x1−2x 2 x−1
=
x−1
x −x2 x x−1
: = ⋅
1−x x−1 1− x −x 2
Multiplicando y simplificando, obtenemos:
1
xx−1
−1 : x1−2x2 1
=
1− x x−1 −x 2 x−1 1−x 1
=− = =
1−x x1−x x1− x x
Por supuesto, todas estas operaciones son válidas para aquellos valores de x que hagan no
nulos los distintos denominadores, esto es para x∈ℝ−{0;1}
b) Para simplificar la expresión dada es preciso descomponer, tanto el numerador como el
denominador, en factores.
Teniendo en cuenta los productos notables, 1– x 2 =1− x1 x.
El denominador es un polinomio de segundo grado, por tanto, tal como ya se indicó en el
primer ejercicio, tenemos que averiguar sus raíces, resolviendo la ecuación 3x 2 −x−2=0.
Dichas raíces son − 2
3
Ahora podemos escribir:
y 1, con lo que:
3x 2 2
– x – 2=3
x
3
1− x 2
3x 2 1− x1x
=
−x−2 3 x2x−1
x – 1=3x2 x−1
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