MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Solución:
Evidentemente el triángulo ABC es equilátero y el área del sector circular correspondiente
a la superficie señalada en la figura con I y III es S I III= ⋅22 2
⋅60=
360 3 cm2 .
La superficie correspondiente a la zona II es la que resulta de restarle el
área del triángulo señalado con III al área del sector limitado por el
círculo con centro en A y los radios AC y AB, esto es S II= 2
3 −S III .
La altura del triángulo ABC divide a dicho triángulo en dos triángulos
rectángulos. Las bases de dichos triángulos miden 1 cm.
Haciendo uso del Teorema de Pitágoras, obtenemos que la altura
anteriormente mencionada, mide 3 cm. Por tanto la superficie del
triángulo rectángulo es S III= 1
2 ⋅2⋅3=3cm2 2
. Consecuentemente S II=
3 −3 cm2 , y el
área pedida es S= 4
3 −3 cm2 .
4. Describe el proceso a seguir para construir un triángulo ABC , si se conocen el lado a , la
altura h a correspondiente al lado a y la altura h b correspondiente al lado b. Indica la relación
que debe existir entre las magnitudes dadas para que:
a) dicha construcción sea posible
b) para que no tenga solución
c) para que el triángulo sea recto en el vértice C.
Hacer la construcción, en caso de ser posible, si a=6 cm cm, h a =5,5 cm y h b =4 cm.
Solución:
Trazamos:
1º) un segmento a (denotando por B y C a sus
extremos),
2º) una recta paralela, p a , a dicho segmento, que
diste del mismo h a unidades,
3º) una circunferencia con centro en B y radio h b
4º) una tangente a dicha circunferencia que pase por
el punto C.
La tangente trazada corta a la recta p a en un punto A.
Los puntos A , B y C forman un triángulo que cumplen
las condiciones dadas en el enunciado.
Claramente, de ser posible esa construcción, se
obtienen dos posibles soluciones ya que hay dos
tangentes a la circunferencia trazadas desde el punto
C.
Si h b coincide con la longitud del segmento BC , entonces dicho
segmento es un radio de la circunferencia con centro en B y radio h b . En
estas condiciones, la tangente trazada por el punto C es perpendicular al
segmento BC y consecuentemente el triángulo así obtenido es recto en
C.
Claramente, si h b es mayor que la longitud a dada, entonces el problema
no tiene solución. En este caso, el círculo encerrado por la circunferencia trazada contendría al
punto C y en ese caso no se podría trazar una tangente a la circunferencia, que pasase por el
punto C.
136