MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

5. Calcula los ángulos internos, la longitud del lado, la apotema y el área de un polígono regular
de 8 cm de radio, si tiene 35 diagonales.
Solución:
Tenemos que averiguar el número de lados, n , que tiene el polígono.
Las diagonales del polígono son los segmentos que se pueden trazar entre dos vértices no
consecutivos, por tanto su cantidad viene dado por C 2 n−n , siendo C 2 n las
combinaciones binarias de n elementos. Como el polígono tiene 35 diagonales, podemos
n n−1
escribir que C 2n−n=35, o bien −n=35, cuyas raíces son n=10 y n=−7. PPor
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tanto se tata de un decágono.
Al trazar todas las diagonales posibles a partir de uno de sus vértices, el polígono de n lados
queda dividido en n-2 triángulos . La suma de los ángulos internos de todos esos triángulos
coincide con la suma de los ángulos internos del polígono, por tanto
dicha suma es n−2⋅180 0 . Si el polígono es regular, cada uno de los
ángulos internos viene dado por la expresión n−2⋅1800
, así, en
n
nuestro caso, cada ángulo interno debe medir 144 0 , y
consecuentemente el ángulo ∢BAO=72 0 , siendo O el centro del
decágono y A y B dos vértices consecutivos.
La apotema, a p , divide al triángulo BAO en dos triángulos rectángulos. Haciendo uso del
coseno en uno de dichos triángulos, la longitud del lado viene dada por la expresión
L=2 R cos72 0 , y por tanto L=3,33 cm. Haciendo uso del seno, a p=R sen72 0 =8⋅sen 72 0 , la
apotema mide 7,61 cm. El área del polígono se obtiene a través de S=10⋅ L⋅a p
, que nos
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da 126,71 cm 2 .
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Responde a las siguientes cuestiones:
a) Demuestra que la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo es tal que su
hipotenusa coincide con uno de sus diámetros. Y, recíprocamente, si un
lado de un triángulo es tal que coincide con un diámetro de la
circunferencia circunscrita, entonces dicho triángulo es rectángulo.
b) ¿Cuánto mide la mediana correspondiente a la hipotenusa de un
triángulo rectángulo, si sus catetos miden 3 y 4 cm?
c) Consideremos la figura representada a la derecha en la que O es el
centro de la circunferencia, ∢DCB=130 0 . Calcula el ángulo x, la
longitud del arco menor y la cuerda determinados por los vértices D y B, si el radio de la
circunferencia mide 4 cm.
2. Con el cateto mayor de un triángulo rectángulo como diámetro, se traza un semicírculo. Hallar
la longitud de la semicircunferencia, sabiendo que el otro cateto mide 30 cm y la cuerda que
une el vértice del ángulo recto con el punto de intersección de la hipotenusa y el semicírculo
mide 24 cm.
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