MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

• Asíntotas.
Horizontal lim
x ±∞
f x=a : lim
x∞
x
f x= lim
x ∞
3
x 2 =∞ , lim
−1 x−∞
x
f x= lim
x −∞
3
x 2 =−∞ (ya
−1
lo sabemos por ser función impar); no tiene asíntota horizontal.
Vertical lim f x=∞
x a : lim
x1 −
x 3
x 2 =−∞ , lim
−1 x1
x 3
x 2 =∞ ; lim
−1 x−1 −
x 3
x 2 =−∞ ,
−1
x 3
lim
x−1 x 2 =∞ (los dos últimos límites los sabemos por ser función impar); entonces las
−1
rectas x=1 y x=−1 son asíntotas verticales.
f x
Oblicuas y=mxn con m= lim y n= lim [ f x−mx ] x ±∞ x
x±∞
:
f x x
m= lim = lim
x ±∞ x x ±∞
3
x x 2 x
= lim
−1 x ±∞
3
x 3 −x =1
x
n= lim [ f x−mx ]= lim
x±∞
x ±∞[
3
x 2 x
− x] = lim
−1 x±∞[ x 2 −1] =0
Entonces la recta y = x es una asíntota oblicua.
• Extremos. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Derivamos la función: f ' x= 3x2 x 2 −1− x 3 ⋅2x
x 2 −1 2 = x4−3x 2
x 2 −1 2 = x2x 2 −3
x 2 −1 2
Los posibles extremos se calculan con f ' x=0 ; x 2 x 2 −3=0⇒{
x 2 =0⇒ x=0
x 2 −3=0⇒ x=± 3
Para estudiar si son máximos o mínimos podemos utilizar el criterio de la derivada segunda o
estudiando los intervalos, lo haremos de la segunda forma, entonces ahora calcularemos los
intervalos de crecimiento y decrecimiento, dividimos el eje en intervalos teniendo en cuenta
los puntos de discontinuidad, una vez tenemos los intervalos miramos el signo de la función
derivada, si es positivo la función crece y si es negativo la función decrece. Lo escribiremos en
forma de tabla para que sea mas sencillo de interpretar (los tres primeros intervalos
podríamos no estudiarlos, conocemos su comportamiento al ser una función impar):
Intervalo −∞ ,− 3 − 3,−1 −1,0 0,1 1, 3 3,∞
f ' x + - - - - +
f x crece decrece decrece decrece decrece crece
Podemos entonces estudiar los extremos, vemos que antes de x= 3 la función decrece y
después crece, esto significa que en x= 3 hay un mínimo. Al revés, en x=− 3 pasa de
crecer a decrecer por lo que hay un máximo, aunque ya lo sabemos por se una función impar.
Para finalizar, x=0 no es extremo ya que antes decrece y después también.
Debemos calcular la coordenada y de los extremos, para ello sustituimos los puntos en la función:
f
33
3=
3 2
3 3
=
−1 2 y el mínimo está en 3 3 3,
2
− 33
f − 3=
− 3 2
3
=−3
−3
y el máximo:
−1 2 −
3
3,
2 (lo sabemos por ser impar)
• Puntos de inflexión. Intervalos de concavidad y convexidad.
Calculamos la derivada segunda: f ' ' x= 2x36x x 2 −1 3 = 2x x23 x 2 −1 3
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