MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

De donde se deduce que si m = 10, el determinante es nulo y la familia es ligada (sus vectores
son linealmente dependientes) y si m ≠ 10 ,el determinante es no nulo y la familia es libre (sus
vectores son linealmente independientes).
5. Calcula el valor del parámetro k para que la siguiente matriz sea singular (es decir, para que su
determinante valga cero). Para k = 0, calcula la inversa de A y también An .
k 1
k
A=0
k 1 0
1 0
Solución:
Para que esta matriz sea singular, su determinante debe ser cero.
∣A∣=∣0
k
1
k
1
0
1
0
k∣=0⇒−1−k 3 =0 ⇒ k= 3
−1=−1
Para k = 0, la matriz queda de la siguiente forma.
A=0
0
1
0
1
0
1
0 0
y su determinante es ∣A∣=−1
Aplicamos ahora la fórmula del cálculo de la matriz inversa: A −1 = 1
·AdjA t
primero calculamos los adjuntos Aij de cada elemento aij de la matriz A: A ij =−1 i j . ij en
donde ij es el menor complementario del elemento que está en la fila i y en la columna j (aij)
1 0
A11=∣0 0∣ =0, A 0 0
12=−∣1 0∣ =0, A 0 1
13=∣1 0∣ =−1,
A
0 1
21=−∣0 0∣ =0, A 0 1
22=∣1 0∣ =−1, A 0 0
23=−∣1 0∣ =0,
0 1
A31=∣1 0∣ =−1, A 0 1
32=−∣0 0∣ =0, A 0 0
33=∣0 1∣ =0
C on lo que la matriz adjunta de la matriz A (Adj A) queda de la siguiente forma:
Adj A= 0 0 −1
0 −1 0
−1 0 0
y por lo tanto la traspuesta de la adjunta (Adj A) t :
y la matriz inversa es:
Adj A t =
0 0 −1
0 −1 0
−1 0 0
A −1 = 1
0 0 −1 0 1
0
0 −1 0 =0
0 1 0
−1
−1 0 0 1 0
47
∣A∣