MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Solución:
a) Para simplificar una expresión de este tipo se desarrollan los factoriales según su
definición y se simplifican los términos comunes. En este caso:
8!⋅n1! 8⋅7⋅6!⋅n1⋅n⋅n−1!
=
6!⋅n−1! 6!⋅n−1!
Al desarrollar todos los factores de la fracción vemos que en el numerador y en el
denominador aparecen los términos comunes 6! yn−1! que podemos simplificar, de
este modo, obtenemos 8⋅7⋅n1⋅n=56⋅n 2 n , que es la solución.
b) Para resolver una ecuación combinatoria, lo primero que hacemos es sustituir los
términos por sus desarrollos en factoriales según la fórmula que le corresponda, después
se simplifican los factoriales, se resuelve la ecuación resultante y para finalizar se
comprueban las soluciones.
En nuestro ejercicio:
V x ,4 =20⋅V x ,2⇔ x! x!
=20⋅
x−4! x−2!
Simplificamos el factor x! y multiplicando por x−4!⋅ x−2! , tenemos entonces:
x−2!=20⋅ x−4!
Desarrollando el factorial del 2º miembro para simplificarlo:
x−2⋅x−3⋅ x−4!=20x−4!⇔ x−2⋅ x−3=20⇔ x 2 −5x−14=0
Resolvemos la ecuación de 2º grado:
x= 5± −52−4⋅−14 =
2
5± 81 5±9
=
2 2
Cuyas soluciones son x 1 =7 y x 2 =−2 , de éstas x 2 =−2 no es válida por ser un número
negativo. Si sustituimos el valor x 1 =7 en la ecuación podemos comprobar que es solución
de la ecuación original.
3. En el coche de una familia caben sus 5 miembros. ¿De cuántas formas pueden ocupar las
cinco plazas si todos tienen carné de conducir? ¿De cuántas formas podrían ocupar las plazas
si sólo dos de ellos tuvieran carnet?
Solución:
Tenemos un coche de 5 plazas en la que se van a sentar 5 personas. Como todas ellas tienen
carnet de conducir, todas pueden sentarse en el asiento del piloto. Por lo tanto en la primera
pregunta es claramente un caso de permutaciones de 5 elementos, es decir:
N = P 5 =5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120
El coche se puede ocupar de 120 formas distintas.
Para la segunda pregunta vemos que, de las 5 personas que viajan en el coche, solamente 2
pueden ser pilotos, entonces para el asiento del piloto hay dos opciones, para los otros 4
asientos tenemos otras 4 personas que no importa donde se sienten, es decir, para los otros 4
asientos es una permutación de 4 elementos. Entonces el resultado final es:
N =2⋅P 4 =2⋅4!=2⋅4⋅3⋅2⋅1=48
Si sólo dos tienen carnet de conducir el coche se puede ocupar de 48 formas distantas.
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