MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

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4. ¿Cuántas palabras de 5 letras (con o sin sentido) pueden formarse con las letras de la palabra DESTINO? ¿Cuántas empiezan por vocal? ¿Cuántas terminan en SE? Solución: La palabra DESTINO tiene siete letras distintas. Para la primera pregunta tenemos que seleccionar 5 letras de entre las siete letras distintas. Debemos tener en cuenta el orden ya que al cambiar la posición de las letras la palabra formada es distinta. Entonces lo que tenemos son variaciones sin repetición de 7 elementos tomados de 5 en 5: N =V 7,5= 7! 2! =7⋅6⋅5⋅4⋅3=2520 Se pueden formar 2520 palabras distintas de cinco letras con las letras de la palabra DESTINO. En la segunda pregunta vemos que las palabras deben comenzar por vocal, es decir, para la primera letra tenemos 3 opciones que son las vocales E, I y O, para el resto de las 4 letras que nos faltan podemos poner cualquiera de las 6 letras que faltan una vez que hemos colocado una vocal al principio. Entonces para el resto de las letras tenemos variaciones sin repetición de 6 elementos tomados de 4 en 4, es decir, que el número total es: N =3⋅V 6,4=4⋅ 6! 2! =4⋅6⋅5⋅4⋅3=1440 Se pueden formar 1440 palabras distintas que empiezan por vocal de cinco letras con las letras de la palabra DESTINO. Por último, tenemos que en la tercera pregunta las palabras deben terminar en SE, es decir, que estas posiciones están fijas. Entonces para las 3 primeras posiciones nos quedan 5 letras, es decir, que la solución son variaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3: N =V 5,3= 5! 2! =5⋅4⋅3=60 Se pueden formar 60 palabras distintas de cinco letras que terminan en SE con las letras de la palabra DESTINO. 5. A un concurso literario se presentan 20 personas. Si está previsto conceder tres premios a tres participantes distintos: ¿De cuántas formas distintas pueden elegirse a los premiados si los tres premios son diferentes? ¿Y si los tres premios son iguales? Solución: Lo primero que debemos tener en cuenta es que no puede haber repetición ya que se entregan los tres premios a tres participantes distintos. En la primera pregunta los tres premios son distintos, es decir, que importa el orden; entonces en este caso la solución serán variaciones sin repetición de 20 elementos tomados de 3 en 3: N =V 20,3= 20! 17! =20⋅19⋅18=6840 Se pueden conceder los tres premios de 6840 formas distintas si los premios son diferentes. Para la segunda pregunta los tres premios son iguales, esto significa que no importa el orden de los premiados ya que reciben el mismo regalo, entonces en este caso serán combinaciones sin repetición de 20 elementos tomados de 3 en 3: N =C 20,3 = 20! 20⋅19⋅18 = 17!⋅3! 3⋅2 =1440 Se pueden conceder los tres premios de 1440 formas distintas si los premios son iguales. 177
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Desarrolla el siguiente binomio de Newton: 3− x 5 . 2. Resuelve los siguientes ejercicios: a) Simplifica la siguiente expresión: n!⋅n1! n−1! 2 . b) Obtén la solución de la siguiente ecuación combinatoria: x1 4 =2⋅ x 3 3. En una clase hay 14 chicas y 10 chicos. Queremos seleccionar un jurado para un premio en la escuela formado por 5 alumnos. a) ¿De cuántas formas podemos seleccionar el jurado?. b) ¿De cuántas formas podemos seleccionarlo si debemos escoger 2 chicas y 3 chicos? 4. Un entrenador de un equipo de baloncesto tiene que escoger un equipo en el que juegan 1 base, 2 aleros y 2 pívots. En la plantilla tiene un total de 3 bases, 5 aleros y 4 pívots. ¿Cuántos equipos distintos puede seleccionar? 5. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5: a) ¿Cuántos números de 5 cifras, sin repetición , se pueden formar? b) ¿Cuántos son pares? c) ¿Cuántos son múltiplos de 5?. d) ¿Cuántos empiezan en 1 y terminan en 4? 1. −x 5 15⋅x 4 −90⋅x 3 270⋅x 2 −405⋅x243 2. a) n 2 ⋅n1 b) x=7 3. a) 42504 b) 10920 4. 180 5. a) 120 b) 48 c) 24 d) 6 SOLUCIONES 178
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