MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

2. Realiza las siguientes demostraciones:
a) Demuestra que si el cuadrado de un número natural es divisible por 3, entonces dicho
número también es divisible por 3.
b) Demuestra que 3 es un número irracional.
c) Demuestra ∀ n∈ℕ ,n∣n 2 6⇒5∤n.
Solución:
a) Aquí valen los comentarios previos hechos en el anterior ejercicio. Dado que la
demostración de esta afirmación mediante un método directo resulta complicada,
decidimos proceder por el método de reducción al absurdo que está basado en que
afirmar que la proposición P ⇒ Q es cierta es equivalente a afirmar que la proposición
P∧¬Q es una contradicción ( ¬Q representa simbólicamente a la negación de Q ).
El enunciado que se nos pide demostrar se puede expresar, con símbolos matemáticos, de
la siguiente manera:
∀ n∈ℕ ,3∣n 2 ⇒3∣n,
Así nosotros demostraremos que de la afirmación “ n es un número natural tal que 3∣n 2 y 3∤n
“ es absurda. En efecto, supongamos que n es un número natural tal que 3∣n 2 y 3∤n , entonces
existen sendos naturales p y q tales que n 2 =3 p y , o bien n=3q−1 o bien n=3 q−2.
Aquí es preciso remarcar que el cero no se considera número natural y que los números
que no son divisibles por 3, difieren en una o dos unidades de los que son divisibles por 3.
• Si suponemos que n=3 q−1 y lo sustituimos en n 2 =3 p , obtenemos 3q−1 2 =3 p.
Efectuando las operaciones del primer miembro, pasando todas las variables al
segundo y extrayendo 3 como factor común, tenemos 1=3 p2q−3 q 2 , de lo que
se deduce que 3∣1, lo cual es absurdo.
• Si ahora suponemos que n=3q−2, procediendo de forma similar a como se hizo
antes, concluimos que 4=3 p4q−3q 2 , de lo que se deduce que 3∣4, lo cual es
también un absurdo.
b) También haremos por reducción al absurdo la demostración de que 3 es un número
irracional. Es decir, supondremos que 3 es racional, entonces existirá una fracción
irreducible p
p
de números naturales tales que
q q =3. Si elevamos ambos miembros al
cuadrado y los multiplicamos por q 2 , obtenemos p 2 =3 q , de lo que se deduce que 3∣p 2 .
Teniendo en cuenta la afirmación demostrada en el apartado a), deducimos que 3∣p. Por
tanto, existirá un número natural m tal que p=3 m. Sustituyendo en p 2 =3q , obtenemos
9 m 2 =3q , que, al simplificar por 3 , se convierte en la igualdad 3 m 2 =q , de lo que se
deduce que 3∣q , es decir, q=3 n , siendo n algún número natural.
De todo lo anterior, concluimos que la fracción p 3m
= es reducible ya que se puede
simplificar por 3, lo cual contradice lo dicho al comienzo de la demostración (se imponía
que la fracción fuera irreducible).
c) En general, cuando se pretende probar que de una hipótesis se deduce la negación de una
sentencia, resulta más sencillo el hacer la demostración por reducción al absurdo. Así,
demostraremos por dicho método la afirmación “Si n es un número natural tal que
n∣n 2 6 , entonces 5∤n , es decir, supondremos que n es un número natural tal que
n∣n 2 6 y 5∣n , entonces existen sendos números naturales p y q tales que:
n 2 6= pn y n=5q
30
q
3n