MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

6. Calcula a y b para que sea continua la siguiente función:
Solución
f x= { x 2 ax , x≤−1
b ,−1 x3
2x4, x≥3
La función f x es continua en x≠−1 y en x≠−3 cualesquiera que sean a y b , por estar
definida por funciones continuas. Estudiemos los límites en x=−1 y en x=3 .
• Cálculo del lím f x :
x−1
lím
x−1 +
f x= lím
x−1 +
b=b
lím
x−1 -
f x= lím
x −1 -
x 2 ax=1−a
•
Para que sea continua en x=−1 , debe de ser 1−a=b .
Cálculo del lím f x :
x 3
lím
x3 -
f x=lím b=b lím f x= lím 2x4=10
-
x3
+
x3
+
x 3
Para que sea continua en x=3 , debe ser b=10 .
Llevando el valor b=10 a la igualdad anterior: 1−a=10 a=−9 .
Si a=−9 y b=10 , f x es continua en x=−1 y en x=3 porque:
lím f x= f −1=10 y lím f x= f 3=10
x−1
x 3
7. Determina las asíntotas de la siguiente función: f x= x3
x−2 2
Solución
• Asíntotas verticales : hay una en x=2 , ya que lím[
f x]=∞ , ahora estudiamos la
x 2
posición de la curva respecto de la asíntota:
f 1,99≈78806 lím
x 2 -
f 2,01≈81206 lím
x 2 +
[ f x]=∞
[ f x]=∞
• Asíntotas oblicuas: determinamos la ecuación de la recta y=mxn y para ello calculamos
el valor de la pendiente y del origen en ordenadas aplicando límites
x
m= lím f
x ∞ x =lím
x
x∞
3
x
=lím 2
x x−2 x∞
2
=1 2
x−2
x
n=lím f x−m x= lím
x∞
x ∞
3
x
x−2
2− x=lím
x∞
3 − xx−2 2
x−2 2 =4
Existe una asíntota oblicua en y=x4 .
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