MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

es otra potencia con la misma base, cuyo exponente es 1
que es el resultado de multiplicar
3
los exponentes 2 1
y
3 2 . Teniendo en cuenta que la división de dos potencias con la misma
base es otra potencia, con igual base, cuyo exponente es la resta del exponente de la potencia
del numerador menos el exponente de la potencia del denominador, de lo que resulta:
3
a 2 ⋅a 3
a⋅ 3
=
2
−
3
a⋅a a
11
6 6
=a = a 1
3 a
11
Como el exponente del subradicando es mayor que el índice de la raíz, podemos extraer
facrtores de dicho radical. Para ello basta tener en cuenta que 11=65, con lo que
a 11 =a 65 =a 6 ⋅a 5 . De lo expuesto, se deduce que 6
a 11 = 6
a 6 ⋅a 5 =a 6
a 5 .
Evidentemente, las operaciones anteriores son válidas si imponemos la condición a0.
3. Calcula
x
2 2
x − 1
8 x y simplifica al máximo.
2 x
Solución:
Tenemos que averiguar si los distintos sumandos son semejantes. Cada uno de los tres
primeros términos se puede expresar como cociente de radicales que pueden ser
racionalizados, esto es, pueden expresarse equivalentemente por cocientes en los que el
divisor no contiene radicales:
x
2 2
x − 1 x 2 1
8 x= 8 x .
2 x 2 x 2 x
Como 8=2 3 , extrayendo factores del radical, obtenemos que 8 x=2 2 x.
Sabemos que las fracciones de números reales no se alteran, si multiplicamos el numerador y
el denominador por la misma cantidad. Hemos de multiplicar y dividir cada fracción por un
factor adecuado para que no aparezcan radicales en los distintos denominadores. Así,
elegiremos como factor para la primera fracción 2 para que quede en el denominador
2 2
, para la segunda elegiremos x y para la tercera 2 x :
x
2 2
x − 1 x 2 2 x 1 x
8 x= ⋅ ⋅ − ⋅2 2 2 x.
2 x 2 2 x x 2 x 2 x
Efectuando operaciones, tenemos:
x
2 2
x − 1 2 x 2 x 2 x
8 x= − 2 2 x .
2 x 2 x 2 x
Como 2x es un factor común a todos los sumandos, podemos escribir:
x
2 2
x − 1 1 1 1
8 x=
− 2 2 x.
2 x 2 x 2 x
Al efectuar las operaciones que aparecen entre paréntesis, tenemos:
x
2 2
x − 1 5 x1
8 x= 2 x 2 x 2 x.
La operaciones anteriores son válidas, siempre que x0.
4. Racionaliza y simplifica: a) 6
4
54
Solución:
b) 3553
35−53
Como indicamos en el anterior ejercicio, hemos de multiplicar y dividir cada fracción por una
cantidad adecuada para que no aparezcan radicales en el denominador.
24
13
6