MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

Si sustituimos la segunda igualdad en la primera, pasamos las variables al segundo
miembro y extraemos 5 como factor común, obtenemos que 6=5 pq−5 q 2 , de lo que se
deduce que 5∣6, lo cual es absurdo.
3. Demuestra la siguiente afirmaciones:
a) ∀ n∈ℕ:2∤n 3 −6 n 2 2n−10⇒ 2∤n
b) ∀ n∈ℕ:7∣2 n2 2n 1
3
c) ∀ n∈ℕ ,2∣n⇔ 2∣n 2
Solución:
a) Se trata de demostrar que de la negación de una proposición, se deduce la negación de
otra. En este caso, es conveniente hacer la demostración por el método del
contrarrecíproco que está basado en que la proposición ¬P ⇒¬Q es equivalente a Q ⇒ P.
Por tanto demostraremos que “si n es un número natural tal que 2∣n, entonces
2∣n 3 −6n 2 2 n−10 “ siguiendo el método de demostración directo.
Partimos del supuesto 2∣n, entonces existe un número natural p tal que n=2 p.
Calculemos ahora, sustituyendo n por 2 p , el valor de la expresión n 3 −6 n 2 2 n−10:
n 3 −6 n 2 2 n−10=8 p 3 −24 p 2 4 p−10
Si extraemos 2 como factor común en el segundo miembro obtenemos:
n 3 −6n 2 2 n−10=24 p 3 −6 p 2 2 p−5
de lo que se deduce que efectivamente, tal como se quería demostrar,
2∣n 3 −6n 2 2 n−10.
b) Hay varios caminos a seguir para demostrar que ∀ n∈ℕ:7∣2 n2 3 2n 1 (los dos puntos se
leen “se verifica”). Optaremos por un método directo, por lo que calcularemos el valor de
dicha expresión, teniendo en cuenta las igualdades 2 n2 =2 2 ⋅2 n , 3 2n 1=3⋅9 n y 9=72 .
En efecto,
2 n2 3 2n1 =2 2 ⋅2 n 3⋅72 n
y haciendo uso del binomio de Newton:
2 n2 3 2n1 =4⋅2 n 3⋅[ n
0 7n
n
1 7n−1
2 7n−2
⋅2 n
⋅2 2 ... n
n−17⋅2n−1 n n 2n
No hay que olvidar que n es un número natural mayor que cero y que el desarrollo de
72 n tiene al menos 2 sumandos, concretamente tiene n1 sumandos.
Si quitamos los corchetes y tenemos en cuenta las igualdades n 0 =1 y n n =1, entonces:
2 n2 3 2n1 =4⋅2 n 3⋅7 n 3⋅ n
17n−1⋅23⋅ n
27n−2⋅2 2 ...3⋅ n
n−17⋅2n−13⋅2 n
Al sumar los términos semejantes, nos queda:
2 n2 3 2n1 =7⋅2 n 3⋅7 n 3⋅ n
17n−1⋅23⋅ n
27n−2⋅2 2 ...3⋅ n
n−17⋅2n−1 Como 7 es un factor común a todos los términos del segundo miembro, podemos escribir:
2 n2 3 2n1 =7⋅[ 2n3⋅7 n−1 ...3⋅ n
n−1⋅2n−1 de lo que se deduce que 7∣2 n2 3 2n 1 , tal como se quería demostrar.
c) La afirmación ∀ n∈ℕ ,2∣n⇔ 2∣n 2 es una equivalencia, por tanto, para demostrar su
veracidad tendremos que probar que son ciertas las implicaciones ∀ n∈ℕ ,2∣n⇒ 2∣n 2 y
∀ n∈ℕ ,2∣n 2 ⇒ 2∣n.
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