MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

3. Dados los puntos A=(0,1); B = (1,0) y C = (2,3). Comprobar si estos puntos están o no
alineados y en el caso en que no lo estén, calcular una función cuadrática que pase por ellos.
Solución:
Para que los puntos estén alineados deben pasar por la misma recta. Calculando la recta que
pasa por los puntos A y B, luego podemos comprobar si el punto C pertenece o no a dicha
recta.
La ecuación de una recta es una función lineal que puede darse de diversas formas, por
ejemplo en forma punto pendiente: y=mxn , donde m es la pendiente de la recta y n la
ordenada en el origen.
Sustituimos los valores de los puntos en la ecuación de la recta para calcular los parámetros m
y n:
A = (0, 1) → 1=n
B = (1,0) → 0=mn=m1→m=−1
La ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B es y=−x1 .
Para que el punto C = (2, 3) esté alineado con los dos primeros, debe cumplir la ecuación de
esta recta:
3≠−21 , luego C no está alineado con los puntos A y B.
Calculamos una función cuadrática que pase por los tres puntos, que tendrá la forma
y=ax 2 bxc . Esta ecuación corresponde a una parábola.
Calculamos los parámetros a, b y c escribiendo un sistema de ecuaciones donde la ecuación
de la parábola debe ser compatible con cada uno de los puntos dados:
A = (0, 1) → 1=c
B = (1, 0) → 0=ab1
C = (2, 3) → 3=4a2b1
Multiplicando a la segunda de las ecuaciones por (-2) y sumándola a la tercera obtenemos:
3=2a−1→a=2
Por último sustituimos y despejamos para obtener el parámetro b:
0=2b1→b=−3
Por tanto la ecuación cuadrática correspondiente a una parábola tiene la forma:
y=2x 2 –31
4. Las fuerzas eléctricas que se dan entre dos cargas son funciones proporcionales al valor de las
dos cargas que intervienen e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que hay
entre ellas. Si tenemos dos cargas positivas de valores 3 μC y 2 μC, separadas entre sí una
distancia de 10 cm y la fuerza que aparece entre dichas cargas es de 5,4 N, calcular cuál será
la constante de proporcionalidad.
Solución:
Si la fuerza es proporcional a las cargas entonces debe cumplir que sea igual al producto de
las cargas por una constante:
F =cte ∙q 1 ∙q 2
Si es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entonces :
F = cte
r 2
Para que ambas cosas se cumplan simultáneamente:
F =cte ∙ q 1 ∙q 2
r 2
Por tanto una vez que tenemos la función, sustituimos por los datos proporcionados en el
problema para calcular dicha constante:
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