MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

) ∫ 5
c) ∫
d) ∫ dx
tan x
1
5 x6 dx=∫5 x6
arctan x 1
dx=∫ 2
1x 1 x
e) ∫ dx
x 2 x1 =∫
= 4
3 ∫
5 dx= 1
5
cos x =∫ ·dx=ln∣sen x∣C
sen x
dx
2 x1
3
2
1
5
5 x6
· 1
1
5 1
C = 1
6
arctan x2
·arctan x dx= C
2 2
4 dx
4 x 2 4 x4 =4∫
1
= 4
·
3
3 2 ∫
6
5 x6
dx
4 x 2 4 x13 =4∫
2
3 dx
2
2 x1
3
3. Calcula las siguientes integrales racionales
a) ∫ x4 − x 3 −x−1
x 3 − x 2
1−2 x2
b) ∫
x3
3 dx
Solución:
dx
1
5 5x6 5
C = 5 x6C
6
dx
3
2 x1 2
= 2 2 x1
arctan 3 3 C 3
=
1
a) Por el algoritmo de la división tenemos que x4− x 3 −x−1
x 3 −x 2 =x−x−1
x 3 2 descomponiendo
−x
el denominador x 3 − x 2 =x 2 x−1 ,vemos que tiene una raíz de multiplicidad simple y
otra de multiplicidad doble, por tanto, hacemos la siguiente descomposición:
−x−1
x 2 A B C
=
x−1 x x
2 x−1
Multiplicando por x 2 x−1 tenemos:
−x−1= xx−1 A x−1 Bx 2 C
Para obtener las constantes A , B y C damos valores a x .
Si x=0 : −0−1=00−1 A0−1 B0 2 C ⇒ B=1
Si x=1 : −1−1=−1·1−1 A1−1 B1 2 C ⇒ C=−2
Y dando otro valor cualquiera obtenemos A , por ejemplo x=−1 :
−−1−1=−1·−1−1 A−1−1−1 B−1 2 C ⇒ A=2
Luego la integral nos queda
∫ x4− x 3 −x−1
x 3 − x 2 dx=∫ x−x−1
x 3 2 1 2
2 dx=∫
x − 2
−x x x x−1 dx=
=∫ x dx∫ 2
2
1 2 x 1
dx∫ dx−∫ dx= 2ln x− 2 x x x−1 2 x −2ln∣x−1∣C
b) Como -3 es una raíz de multiplicidad 3 del polinomio del denominador, realizamos la
siguientes descomposición:
1−2 x 2
A B
= 3
x3 x3 x3 2
C
x3 3
Multiplicando por x3 3 , obtenemos:
1−2 x 2 = x3 2 A x3BC
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