MATEMÁTICAS - Ministerio de Educación

a) La descomposición de 54, en factores primos, es 3 3 ⋅2 , con lo que 4 54= 4
3 3 ⋅2 . Si
multiplicamos 4
3 3 ⋅2 . por 4
3⋅2 3 , obtenemos 4
3 4 ⋅2 4 , que es un número entero. Así:
6 6
= 4 4
54 3 3 ⋅2 ⋅
4
3⋅2 3
4
3⋅2 3 = 6 4 24
4
3 4 ⋅2 4 = 6 4 24
3⋅2 = 6 4 24
6 = 4 24.
b) Para racionalizar, nos interesa multiplicar el numerador y el denominador por una cantidad tal
que dé como resultado, en el denominador, radicales en los que los subradicandos sea
potencias de exponente dos. Teniendo en cuenta el producto notable aba−b=a 2 −b 2 ,
vemos que nos conviene como factor 3553 . En consecuencia podemos escribir:
3553 3
=
55 3
⋅3
55 3 3 55 32
=
35−53 3 5−5 3 3 55 3 3 5 2 . 2
−5 3
El numerador es el cuadrado de una suma, así, haciendo uso de la identidad
ab 2 =a 2 2a bb 2 , tenemos que:
3 553 2
=3 5 2
23 5535 3 2
=9⋅530 1525⋅3=
=12030 15=30 415
Procediendo de la misma forma con el denominador, obtenemos:
3 5 2 −53 2 =9⋅5−25⋅3=−30
Así, 3553 30 415
= =−415=−4−15.
35−53 −30
5. Resuelve la ecuación: a) 3 x1 x−4=5 b) 4
x 2 12 4
x 2 12 −1 = 5
2
Solución:
Las ecuaciones dadas son irracionales porque la incógnita aparece en al menos uno de los
subradicandos.
a) Intentaremos encontrar una ecuación polinómica que, aunque no sea equivalente a la
dada tenga entre sus raíces a las soluciones de la ecuacion irracional considerada, para lo
cual aislamos en el primer miembro uno de los radicales, por ejemplo el primero,
3 x1=5− x−4 , elevamos al cuadrado ambos miembros y sumamos los términos
semejantes, con lo cual obtenemos: 3 x1= x21−10 x−4.
Aquí tenemos que hacer una observación que justifica la afirmación anteriormente hecha
acerca de la posibilidad de que la ecuación obtenida sea no equivalente a la dada:
la función f : y=x 2 no es inyectiva ya que es posible encontrar valores x1 y x2 de la
2 2
variable x , que, no siendo iguales, cumplan x1= x2.
Así, podría ocurrir que obtenemos soluciones de la ecuación 3 x1 2
=5− x−4 2
,
que no son solución de la ecuación 3 x1=5− x−4.
Como la ecuación 3 x1= x21−10 x−4 , sigue siendo irracional, aislamos el radical en el
segundo miembro 2 x−20=−10 x−4 , simplificamos por 2 y elevamos, nuevamente,
los dos miembros al cuadrado, obteniéndose así la ecuación de segundo grado
x 2 −45 x200=0, cuyas raíces son x 1 =5 y x 2 =40. Ambos valores pertenecen a los dominios
de definición de las funciones y=3 x1 e y= x−4 , pero únicamente la primera cumple la
ecuación dada en el enunciado. Por tanto la solución de la ecuación es x=5.
b) Si practicamos el cambio de variables x 2 12= p 4 convertimos la ecuación irracional
4
x 2 12 4
x 2 12 −1 = 5
1 5
en la ecuación racional p =
2 p 2 , que tiene sentido si p≠0.
Si multiplicando ambos miembros por 2 p, nos queda la ecuación de segundo grado
2 p 2 2=5 p , cuyas raíces son p=2 y p= 1
2 .
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