verificação de funções de interpolação em advecção-difusão 1d ...

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E a equação geral do erro de discretização (MARCHI, 2001):
pL
p2
p3
E( ) C . h C . h C . h ...
(B.4.5)
1 2
3
B.5 DESENVOLVIMENTO EM SÉRIE DE TAYLOR
Desenvolvendo as séries de Taylor (KREYSZIG, 1999),
2
3
M
( x x
j
) ( x x
j
)
( x x )
i
ii
iii
M
j
x
j
j.(
x x
j
)
j.
j
. ....
j
.
(B.5.1)
2!
3!
M!
sendo que
h x
x
j
, e " " representa o valor analítico da variável de interesse.
Tendo como base a Fig.B.2.1 vemos que os centros dos nós estão distantes das faces
do volume de controle ao qual pertencem por uma distância h / 2 . Considerando agora que
nosso objetivo é obtermos expressões que relacionem os valores nodais com valores nas faces
dos volumes de controle, desenvolveremos algumas séries de Taylor onde
Poderia-se questionar, do por quê não usar a notação de
x x h
j
.
2
x x
j
sendo igual a h , que
facilitaria muito o desenvolvimento da série. A resposta é que, neste caso, o tamanho do
volume de controle seria 2h, tornando incômodo o restante do processo de discretização.
Fazemos então este espaçamento ser igual a h / 2 para relacionar os valores dos nós e faces,
em que h é o tamanho do volume de controle.
h
h
h
h
h
j-3 j-2 j-1 j+1 j+2 j+3
j
Figura B.5.1 – Face genérica “j” e suas relações nodais nas vizinhanças mais próximas
Com base na Fig.B.6.1, podemos desenvolver as seguintes relações:
2
3
4
5
i 5. h ii 25. h iii 125. h iv 625. h v 3125. h
j 3
j
j
.
j
.
j
.
j
.
j.
.... (B.5.2)
2 8 48 384 3840
2
3
4
5
i 3. h ii 9. h iii 27. h iv 81. h v 243. h
j 2
j
j
.
j
.
j
.
j
.
j
. .... (B.5.3)
2 8 48 384 3840