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54 2.11.9 Erro de Discretização O erro de discretização é a diferença entre a solução exata das equações governantes, e a solução exata da aproximação discreta (FERZIGER e PERIC, 1999). Pode-se ter inúmeras fontes para os erros de discretização, conforme apresentado em Ferziger e Pèric (1999). Uma das fontes deste erro é o uso de aproximações para solução numérica do problema. Outra fonte é o erro de geração de malha. Não é um erro claramente definido na literatura, porém, Ferziger e Peric (1999) o mencionam como uma fonte de erros. Isto é explicado pois dependendo da forma da malha, ou melhor, da distribuição dos elementos de volumes na malha, o tipo de aproximação escolhido pode ser muito bom para determinadas regiões de fluxo, porém podem não ser tão acurados em outras áreas. Como forma de auxílio em pontos que serão vistos adiante, pode-se ver em Marchi (2001), que a equação genérica para o erro de discretização, pode ser descrita por, PL P2 P3 P4 E( ) C . h C . h C . h C . h ..... (2.65) 1 2 3 4 sendo que os termos desta equação tem o mesmo significado já explicado para os termos da Eq. (2.58). 2.12 ESTIMADORES DE ERROS DE DISCRETIZAÇÃO Os erros de discretização só podem ser estimados se forem comparadas as soluções em malhas sistematicamente refinadas, e, a qualidade do erro de uma aproximação é descrita em termos de sua ordem (FERZIGER e PERIC, 1999). Estas ordens de aproximação são encontradas através das expansões em séries de Taylor. Para estimar os erros de discretização pode-se usar basicamente dois conceitos, fazer estimativas a priori, ou seja, tentar prever inicialmente como irá se comportar o processo resolutivo adotado para obtenção das soluções das EPD`s. E ainda estimativas a posteriori, que são responsáveis por indicar o quão adequada está a solução numérica, se comparada à solução analítica do problema, ou no caso de não as ter, comparada às soluções analíticas estimadas do problema. Será apresentado adiante o que quer dizer cada um destes temas.
55 2.12.1 Estimativas de Erro a Priori São utilizados para estimar a ordem do erro de discretização, que é feito estimandose o erro de truncamento do modelo matemático através da série de Taylor, e admitindo-se que o erro de discretização (E) tenha a mesma forma funcional quando o tamanho “h” dos elementos da malha tende a zero (MARCHI, 2001). Este tipo de estimativa é feito quando o interesse é em definir as ordens assintótica (p L ) e verdadeiras (p V ), dos erros de truncamento. Ainda em Marchi (2001) pode-se observar que quanto menor a malha, ou seja, maior o número de nós do domínio discretizado, menor será o erro de discretização. Esta afirmação é facilmente confirmada pela Eq.(2.65). 2.12.2 Estimativa de Erro a Posteriori São utilizados para calcular efetivamente a magnitude do erro de discretização, ou seja, seu valor quantitativo. A forma mais simples de verificar a magnitude do erro de discretização é comparando o resultado da solução numérica com o resultado das soluções analíticas. Processo bastante simples e lógico, porém sem muita razão de ser, salvo casos de estudos de processos numéricos. Isto porque se existe a possibilidade de conseguir a solução analítica de determinado problema, não faz sentido a obtenção de sua solução numérica. De qualquer forma, em casos onde estão sendo analisados processos de soluções numéricas, como é o caso destes trabalho, a análise a posteriori é feita comparando a solução numérica obtida (λ) com a solução analítica (Λ), e neste caso o erro de discretização (E(λ)) é dado por, E ( ) (2.66) Para os casos onde não tem-se a solução analítica, a maioria dos casos, é necessário fazer a análise com base em soluções analíticas estimadas, que são obtidas com o uso de alguns estimadores. Nestes casos fala-se de incerteza da solução numérica (U ), U (2.67) sendo “ ” a estimativa do valor da solução analítica, e “ ”é a solução numérica.
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