verificação de funções de interpolação em advecção-difusão 1d ...

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h
h
h
h
j-2
j-1
j j+1
j+2
Figura 2.9 - Região discretizada
onde " " representa a variável dependente do modelo matemático considerado, " j 1
" é o
valor analítico da variável que se deseja obter no ponto “j+1”, a partir do valor analítico
"
j
", conhecido para o ponto “j”, numa malha uniforme, cujos nós tem espaçamento “h”
entre eles. São ainda conhecidos os valores de suas derivadas nos nós envolvidos.
Considere-se ainda que " " é uma função de “x”, contínua no intervalo fechado
[a,b], e ainda possui derivadas contínuas de ordem “n” neste mesmo intervalo. Pode-se ver em
Apostol (1967), que esta série só será convergente se para “n” tendendo a infinito, o valor do
erro tende a zero.
Se a função " " é infinitamente diferenciável no intervalo aberto ]a,b[ , e existe uma
constante positiva “k”, tal que a relação dada pela Eq.(2.48), seja verdadeira para todo “x” no
intervalor ]a,b[, então, a série de Taylor gerada por " " converge para " (x)
" para todo
valor de “x” neste intervalo.
n
n
( x)
k , para n 1,2,3.....
(2.48)
Pode-se redefinir agora o domínio discreto mostrado na Fig. 2.9 em notações mais
adequadas ao método dos volumes finitos, representando o domínio pela Fig.2.10.
h
h
h
h
j-2
j-1
j j+1
j+2
h
h
h
h
WW W w P e E EE
h/2 h/2
Figura 2.10 – Passando de um domínio discreto de diferenças finitas para volumes finitos