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Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

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<strong>Theoretische</strong> <strong>Physik</strong>: <strong>Mechanik</strong> WS 02/03, H.-J. Kull 99<br />

Eulersche Gleichung<br />

Die Variation δJ läßt sich berechnen, indem man bis <strong>zur</strong> linearen Ordnung in δy<br />

bzw. δy ′ entwickelt,<br />

δJ =<br />

=<br />

x2<br />

x1<br />

<br />

x1<br />

x2<br />

dxF (y + δy, y ′ + δy ′ , x) − F (y, y ′ , x)<br />

dx ∂F ∂F<br />

δy +<br />

∂y ∂y ′ δy′ . (5.55)<br />

Ein typischer Schritt der Variationsrechnung besteht nun darin, den zweiten Term<br />

partiell zu integrieren, so daß dieser ebenfalls proportional zu δy wird,<br />

δJ = ∂F<br />

<br />

<br />

δy<br />

∂y ′ <br />

x1<br />

x2<br />

x1<br />

+<br />

x2<br />

x1<br />

dx<br />

<br />

∂F d ∂F<br />

δy −<br />

∂y dx ∂y ′<br />

<br />

δy<br />

(5.56)<br />

Der Randterm verschwindet wegen der Randbedingung (5.52). Für stationäre Funktionen<br />

gilt<br />

x2<br />

<br />

∂F d ∂F<br />

δJ = dx −<br />

∂y dx ∂y ′<br />

<br />

η(x) = 0. (5.57)<br />

An dieser Stelle wird ein Hilfssatz der Variationsrechnung benötigt. Sei η(x) eine<br />

beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt<br />

x2<br />

x1<br />

dx ϕ(x)η(x) = 0 =⇒ ϕ(x) = 0. (5.58)<br />

Zum Beweis nehmen wir an, es sei ϕ(x) = 0 für ξ1 < x < ξ2, wobei dieses Intervall<br />

beliebig klein sein kann. Wählt man dann für η(x) eine Funktion, die außerhalb<br />

dieses Intervalls verschwindet und innerhalb des Intervalls ungleich Null ist, z.B.<br />

<br />

(x − ξ1)<br />

η(x) =<br />

4 (x − ξ2) 4 ; ξ1 < x < ξ2<br />

0 ; sonst<br />

so ist das Integral ungleich Null im Widerspruch <strong>zur</strong> Voraussetzung. Daher gilt ϕ = 0<br />

im ganzen Intervall, x1 < x < x2.

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