Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 99
Eulersche Gleichung
Die Variation δJ läßt sich berechnen, indem man bis zur linearen Ordnung in δy
bzw. δy ′ entwickelt,
δJ =
=
x2
x1
x1
x2
dxF (y + δy, y ′ + δy ′ , x) − F (y, y ′ , x)
dx ∂F ∂F
δy +
∂y ∂y ′ δy′ . (5.55)
Ein typischer Schritt der Variationsrechnung besteht nun darin, den zweiten Term
partiell zu integrieren, so daß dieser ebenfalls proportional zu δy wird,
δJ = ∂F
δy
∂y ′
x1
x2
x1
+
x2
x1
dx
∂F d ∂F
δy −
∂y dx ∂y ′
δy
(5.56)
Der Randterm verschwindet wegen der Randbedingung (5.52). Für stationäre Funktionen
gilt
x2
∂F d ∂F
δJ = dx −
∂y dx ∂y ′
η(x) = 0. (5.57)
An dieser Stelle wird ein Hilfssatz der Variationsrechnung benötigt. Sei η(x) eine
beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt
x2
x1
dx ϕ(x)η(x) = 0 =⇒ ϕ(x) = 0. (5.58)
Zum Beweis nehmen wir an, es sei ϕ(x) = 0 für ξ1 < x < ξ2, wobei dieses Intervall
beliebig klein sein kann. Wählt man dann für η(x) eine Funktion, die außerhalb
dieses Intervalls verschwindet und innerhalb des Intervalls ungleich Null ist, z.B.
(x − ξ1)
η(x) =
4 (x − ξ2) 4 ; ξ1 < x < ξ2
0 ; sonst
so ist das Integral ungleich Null im Widerspruch zur Voraussetzung. Daher gilt ϕ = 0
im ganzen Intervall, x1 < x < x2.