Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 96
Beweis: Differenziert man L(q, ˙q, t) nach der Zeit und verwendet die Lagrangegleichungen
(5.39), so folgt
Damit gilt
d
∂L
L(q, ˙q, t) = ˙qn +
dt ∂qn n
∂L
¨qn +
∂ ˙qn
∂L
∂t
=
˙pn ˙qn + pn¨qn + ∂L
∂t
n
= d
dt
pn ˙qn
n
d
pn ˙qn − L
dt
n
+ ∂L
∂t .
= − ∂L
. (5.43)
∂t
Die Zwangsbedingungen seien nun skleronom und die potentielle Energie sei geschwindigkeitsunabhängig.
Dann gilt für die Energie die übliche Beziehung
E =
pn ˙qn − L = T + U. (5.44)
n
Beweis: Für skleronome Zwangsbedingungen ist die Koordinatentransformation
x = x(q) zeitunabhängig. Mit (5.27) und (5.28) lauten die entsprechenden Transformationen
für die Geschwindigkeit und die kinetische Energie,
mit
v = ∂x
˙qn
(5.45)
∂qn n
T = 1
µnm ˙qn ˙qm, (5.46)
2
n,m
µnm(q) =
i
∂xi ∂xi
mi
∂qn ∂qm
Die kinetische Energie ist eine positiv definite quadratische Form mit einer symmetrischen
Matrix µnm = µmn. Für geschwindigkeitsunabhängige Potentiale werden
die verallgemeinerten Impulse allein durch die kinetische Energie bestimmt
pn = ∂L
∂ ˙qn
.
= ∂T
. (5.47)
∂ ˙qn