Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 35
3.2.2 Rotierendes Bezugssystem
Ein rotierendes Bezugssystem werde durch eine zeitabhängige Orthonormalbasis
{e ′ i(t)} dargestellt, die sich gegenüber der festen Orthonormalbasis {ei} eines Inertialsystems
dreht. Zu jedem Zeitpunkt ist die Transformation der Basis eine orthonormale
Transformation, d.h. es gilt
e ′ i(t) =
αij(t)ej. (3.33)
j
Zur Berechnung der Geschwindigkeit und der Beschleunigung eines Massenpunktes
im rotierenden System benötigt man die zeitliche Änderung der Basisvektoren. Diese
Änderung kann zu jedem Zeitpunkt durch eine Drehachse und eine Winkelgeschwindigkeit
angegeben werden. Wir zeigen dies zuerst am Beispiel einer Rotation um die
x3-Achse und dann allgemein für beliebige Drehungen.
Drehung um die x3-Achse
Eine Rotation um die x3-Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit ω = ˙ϕ wird durch
eine orthogonale Transformation der Form (3.16) mit einem zeitabhängigen Drehwinkel
ϕ(t) dargestellt. Differenziert man (3.16) nach der Zeit, so folgt in Matrix-
schreibweise
⎛
d
⎝
dt
e ′ 1
e ′ 2
e ′ 3
⎞
⎠ = d
⎛
cos ϕ(t)
⎝ − sin ϕ(t)
dt
0
⎛
− sin ϕ(t)
sin ϕ(t)
cos ϕ(t)
0
cos ϕ(t)
⎞ ⎛
0
0 ⎠ ⎝
1
⎞ ⎛
0
= ω ⎝ − cos ϕ(t) − sin ϕ(t) 0 ⎠ ⎝
⎛
0
0
1
⎞ ⎛
0
0
⎞
0
= ω ⎝ −1 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ .
0 0 0
Definiert man mit Hilfe der Drehachse e3 und der Winkelgeschindigkeit ω eine vektorielle
Winkelgeschwindigkeit ω = ωe3, so folgt
e ′ 1
e ′ 2
e ′ 3
˙e ′ 1 = ω×e ′ 1 ˙e ′ 2 = ω×e ′ 2 ˙e ′ 3 = ω×e ′ 3 . (3.34)
Die spezielle Wahl des Koordinatensystems spielt hierbei keine Rolle, so daß dieses
Ergebnis auch auf allgemeine Drehungen angewandt werden kann.
e1
e2
e3
e1
e2
e3
⎞
⎠
⎞
⎠