Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 129
Weltlinien: Die Bahnkurve eines Teilchens im 4-dimensionalen Raum heißt Weltlinie
(Abb. 7.3). Die Weltlinien eines Photons, welches sich zur Zeit t = 0 im Ursprung
befindet, liegen auf dem Lichtkegel ct = r. Die Weltlinie x = vt eines Teilchens mit
der Geschwindigkeit v < c liegt innerhalb des Lichtkegels. Ereignisse innerhalb des
Lichtkegels können vom Ursprung aus durch ein Signal, welches sich mit einer Geschwindigkeit
v < c ausbreitet, erreicht werden. Ereignisse außerhalb des Lichtkegels
sind so weit vom Ursprung entfernt, daß sie durch kein Signal mit v ≤ c erreicht
werden können.
Abbildung 7.3: Die Weltlinie eines
Teilchens mit der Geschwindigkeit
v.
Abstand: In Analogie zum 3-dimensionalen Abstandsquadrat r 2 = (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 +
(x 3 ) 2 definiert man das 4-dimensionale Abstandsquadrat
s 2 = (x 0 ) 2 − r 2 . (7.16)
Im Unterschied zur euklidischen Geometrie ist das Vorzeichen beim räumlichen
Abstand negativ. Damit wird das Abstandsquadrat unabhängig von der Wahl des
Inertialsystems. Nach dem Relativitätsprinzip gilt für ein Photon r = x 0 und damit
s 2 = 0 für alle Inertialsysteme. Aufgrund der Lorentz-Transformation sind auch
Abstände s 2 = 0 unabhängig vom Inertialsystem:
s ′2 = (x 0′
) 2 − (x 1′
) 2 = γ 2 [+(x 0 − βx 1 ) 2 − (x 1 − βx 0 ) 2 ]
Nach dem Vorzeichen von s 2 unterscheidet man:
= +(x 0 ) 2 − (x 1 ) 2 = s 2 . (7.17)
s 2 = 0 : Lichtartiger Abstand
s 2 < 0 : Raumartiger Abstand (7.18)
s 2 > 0 : Zeitartiger Abstand
Da s 2 invariant ist, ist diese Unterscheidung unabhängig vom Inertialsystem. Bei
raumartigen Abständen kann ein Koordinatensystem gefunden werden, in dem das
Ereignis (x 0 , x 1 ) gleichzeitig zum Ereignis (0, 0) stattfindet:
x 0′ = γ(x 0 − βx 1 ) ! = 0 ⇒ β = x0
< 1. (7.19)
x1