Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 36
Infinitesimale Rotationen
Die Änderung der rotierenden Basis in einem infinitesimalen Zeitintervall dt kann
durch eine infinitesimale orthogonale Transformation dargestellt werden. Dies ist
eine orthogonale Transformation, die nur in linearer Ordnung in dt von der Einheitsmatrix
abweicht,
Die Matrix Ω ist antisymmetrisch,
Letzteres folgt aus der Orthonormalitätsbedingung
α = I + Ωdt . (3.35)
Ω T = −Ω . (3.36)
α · α T − I = (I + Ωdt) · (I + Ω T dt) − I = Ω + Ω T dt = 0 . (3.37)
Eine antisymmetrische 3 × 3 Matrix besitzt nur drei unabhängige Elemente. Diese
können den drei Elementen eines Vektors ω auf folgende Weise zugeordnet werden,
Ωij = (ei×ej)·ω =
ɛijkωk . (3.38)
Die zugehörige Matrix besitzt die Form
⎛
0
Ω = ⎝ −ω3
ω3
0
⎞
−ω2
ω1 ⎠ . (3.39)
ω2 −ω1 0
Unter Verwendung von (3.35) und (3.38) erhält man für die Änderung der Basisvektoren,
e ′ i(t + dt) =
j
˙e ′ i =
j
=
j
k
(δij + Ωijdt) e ′ j(t)
Ωije ′ j =
ω·(e ′ i×e ′ j)e ′ j
j
(ω×e ′ i)·e ′ je ′ j = ω×e ′ i .
Damit ist gezeigt, daß (3.34) auch für beliebige infinitesimale Rotationen gilt.
Schreibt man ω = ωn, so definiert der Betrag ω die Winkelgeschwindigkeit und