Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 112
auf. Der dritte Anteil ist ein Mischterm. Er verschwindet, wenn entweder der Bezugspunkt
ruht (v0 = 0) oder wenn der Schwerpunkt als Bezugspunkt gewählt wird
(R = 0).
Zur Herleitung dieses Ergebnisses summiert man die kinetischen Energien der einzelnen
Massenpunkte mit den Geschwindigkeiten (5.84),
T = 1
2
= 1
2
mν(v0 + ω × rν) 2
ν
ν
mν
v 2 0 + 2v0·(ω × r ν) + (ω × r ν) 2
= 1
2 Mv2 0 + ω·(R×Mv0) + 1
2
mν(ω × rν) 2 .
Der letzte Term stellt die Rotationsenergie dar. Sie kann auf folgende Weise umgeformt
werden,
Trot = 1
2
= 1
2
= 1
2
mν(ω × rν)·(ω × rν) ν
mνω· {rν× (ω × rν))} ν
ν
= 1
2 ω·
mνω· r 2
νω − (ω · rν) rν
Der in Klammern stehende Ausdruck ist der Trägheitstensor.
ν
mν
Koordinatendarstellung des Trägheitstensors
ν
2
rνI − rνrν
·ω. (5.91)
Definiert man die Koordinaten des Punktes Pν durch x ν i = rν·ei, so lautet die
Komponentendarstellung des Trägheitstensors
Θik = ei·Θ · ek =
ν
mν
2
rνδik − x ν i x ν k
Die entsprechende Darstellung der Rotationsenergie lautet
Trot = 1
2
3
i,k=1
Θikωiωk
(5.92)