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Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

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<strong>Theoretische</strong> <strong>Physik</strong>: <strong>Mechanik</strong> WS 02/03, H.-J. Kull 112<br />

auf. Der dritte Anteil ist ein Mischterm. Er verschwindet, wenn entweder der Bezugspunkt<br />

ruht (v0 = 0) oder wenn der Schwerpunkt als Bezugspunkt gewählt wird<br />

(R = 0).<br />

Zur Herleitung dieses Ergebnisses summiert man die kinetischen Energien der einzelnen<br />

Massenpunkte mit den Geschwindigkeiten (5.84),<br />

T = 1<br />

2<br />

= 1<br />

2<br />

<br />

mν(v0 + ω × rν) 2<br />

ν<br />

<br />

ν<br />

mν<br />

v 2 0 + 2v0·(ω × r ν) + (ω × r ν) 2<br />

= 1<br />

2 Mv2 0 + ω·(R×Mv0) + 1<br />

2<br />

<br />

mν(ω × rν) 2 .<br />

Der letzte Term stellt die Rotationsenergie dar. Sie kann auf folgende Weise umgeformt<br />

werden,<br />

Trot = 1<br />

2<br />

= 1<br />

2<br />

= 1<br />

2<br />

<br />

mν(ω × rν)·(ω × rν) ν<br />

<br />

mνω· {rν× (ω × rν))} ν<br />

<br />

ν<br />

= 1<br />

2 ω·<br />

mνω· r 2 <br />

νω − (ω · rν) rν<br />

<br />

Der in Klammern stehende Ausdruck ist der Trägheitstensor.<br />

ν<br />

mν<br />

Koordinatendarstellung des Trägheitstensors<br />

ν<br />

2<br />

rνI − rνrν<br />

<br />

·ω. (5.91)<br />

Definiert man die Koordinaten des Punktes Pν durch x ν i = rν·ei, so lautet die<br />

Komponentendarstellung des Trägheitstensors<br />

Θik = ei·Θ · ek = <br />

ν<br />

mν<br />

2<br />

rνδik − x ν i x ν k<br />

Die entsprechende Darstellung der Rotationsenergie lautet<br />

Trot = 1<br />

2<br />

3<br />

i,k=1<br />

Θikωiωk<br />

(5.92)

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