Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 12
Abhängig vom Vorzeichen der zweiten Ableitung des Potentials unterscheidet man
stabile und instabile Gleichgewichte,
d 2 U(xg)
dx 2 > 0, stabil
d 2 U(xg)
dx 2 < 0, instabil
Ein stabiles Gleichgewicht entspricht also einem Potentialminimum, ein instabiles
einem Potentialmaximum.
y
E
E
E
E
E
5
4
3
2
1
Phasenebene
y=
U(x)
x
Abbildung 2.1: Bewegung im Potential
U(x) bei verschiedenen Energien.
E1: Stabiles Gleichgewicht, E2: Periodische
Bewegung im linken Potentialminimum,
stabiles Gleichgewicht im
rechten Potentialminimum, E3: Periodische
Bewegungen in beiden Minima,
E4: Instabiles Gleichgewicht, Grenzkurve
zwischen den periodischen Bewegungen
unterhalb und oberhalb des Potentialmaximums,
E5: Periodische Bewegung
oberhalb des Potentialmaximums.
Der Phasenraum einer eindimensionalen Bewegung ist die durch (x, p) aufgespannte
Phasenebene. Die Kurven, die eine Bewegung in der Phasenebene durchläuft, werden
durch den Energiesatz bestimmt,
p 2
2m + U(x) = E, p = ± 2m(E − U(x)).
Abbildung (2.2) zeigt die der Potentialdarstellung (2.1) entsprechenden Kurven in
der Phasenebene. Die Kurven werden im Uhrzeigersinn durchlaufen. Kurven zu verschiedenen
Energien dürfen sich nicht schneiden, da sie durch eine Anfangsbedingung
(x, p) bereits eindeutig festgelegt sind. Sie bilden daher ein System ineinandergeschachtelter
Ringe um die stabilen Gleichgewichtspunkte. Die Kurve durch den instabilen
Gleichgewichtspunkt nennt man Separatrix, da Sie Bereiche mit qualitativ
verschiedenen Kurven voneinander trennt.