Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 63
Abbildung 4.9: Bahnkurve einer gebundenen
Bewegung in einem Zentralpotential. Die
Bahn verläuft innerhalb des Kreisringes zwischen
rmin und rmax. Die Teilstücke der Bahn
zwischen 2 Umkehrpunkten sind jeweils spiegelsymmetrisch
bezüglich der vom Zentrum
zu den Umkehrpunkten gerichteten Radien
rmin bzw. rmax.
in der Bahnebene. Die Komponente der Bewegungsgleichung in Richtung eϕ,
r ¨ϕ + 2 ˙r ˙ϕ = 1
r
d 2
r ˙ϕ = 0 (4.61)
dt
ergibt die Drehimpulserhaltung L = mr 2 ˙ϕ = const. Damit kann die Radialkomponente
der Bewegungsgleichung in der Form
m¨r = −U ′ (r) + mr L2
m 2 r 4 = −U ′ eff(r) (4.62)
angegeben werden. Zusätzlich zur vorgegebenen Zentralkraft tritt eine Zentrifugalkraft
auf, die immer radial nach außen gerichtet ist und aus dem Zentrifugalpotential
abgeleitet werden kann. Der Energiesatz dieser eindimensionalen Bewegungsgleichung
stimmt mit dem obigen Energiesatz für die Gesamtenergie des Teilchens
überein.
4.5 Kepler-Problem
Die Bestimmung der Bewegung eines Massenpunktes in einem Zentralfeld der Form
U(r) = − α
α
, F = −
r r2 r
, α = const, (4.63)
r
wird als das Kepler-Problem bezeichnet. Für α = γmM ist es auf die Planetenbewegung
(Masse m) um die Sonne (Masse M) anwendbar, wobei die Sonne als festes
Zentrum behandelt wird. Im Rahmen der Newtonschen Theorie können die Keplerschen
Planetengesetze hergeleitet und durch das universelle Gravitationsgesetz