Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 106
5.6 Schwingungen
Gegeben sei ein konservatives System mit f Freiheitsgraden, das sich in einem stabilen
Gleichgewicht befindet. Bei kleinen Auslenkungen der Massenpunkte aus ihrer
Gleichgewichtslage führt das System Schwingungen aus. Diese können als Überlagerung
von Normalmoden dargestellt werden, denen jeweils eine charakteristische
Schwingungsfrequenz zugeordnet ist.
5.6.1 Entwicklung um die Gleichgewichtslage
Sei ξ = q − q0 eine Auslenkung des Systems aus der Gleichgewichtslage q0. Wir
wählen diese Auslenkungen als verallgemeinerte Koordinaten und entwickeln die
kinetische und die potentielle Energie bis zur quadratischen Ordnung in ξ.
Die kinetische Energie eines konservativen Systems besitzt die Form (5.45). Da im
Gleichgewicht ˙q0 = 0 gilt, ist ˙q = ˙ ξ. In quadratischer Ordnung ergibt sich für die
kinetische Energie der Ausdruck
T = 1
2
f
n,m=1
µnm ˙ ξn ˙ ξm mit µnm =
i
mi
∂xi ∂xi q=q0
.
∂qn ∂qm
Da das Produkt der Geschwindigkeiten bereits von quadratischer Ordnung ist, kann
µnm im Gleichgewicht ausgewertet werden. In dieser Näherung ist µnm eine konstante
Matrix. Diese ist symmetrisch laut Definition und positiv definit, da die kinetische
Energie für ˙ ξ = 0 positiv ist.
Im stabilen Gleichgewicht besitzt die potentielle Energie U = U(q) ein Minimum,
d.h. es gilt
n,m=1
∂U
∂qn
q=q0
= 0.
Die Entwicklung der potentiellen Energie lautet daher
U = U(q0) + 1
2
f
knm ξnξm mit knm = ∂2
U
∂qn∂qm
q=q0
Ohne Einschränkung kann U(q0) = 0 gewählt werden, da die Bewegungsgleichungen
nicht von einer additiven Konstante in der Lagrangefunktion abhängen. Die Matrix
knm ist definitionsgemäß symmetrisch und positiv definit, da die potentielle Energie
nach Voraussetzung im Gleichgewicht ein Minimum annimmt.
Damit erhält man in quadratischer Ordnung die Lagrangefunktion
L(ξ, ˙ ξ) = 1
2
f
µnm ˙ ξn ˙
ξm − knm ξnξm . (5.72)
n=1
.