Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 94
Koordinaten beschrieben. Dabei ist die Form der Gleichungen von der Koordinatenwahl
unabhängig.
Das Verfahren zur Lösung eines mechanischen Problems mit den Lagrangegleichungen
zweiter Art besteht aus den folgenden Teilschritten:
1. Angabe der holonomen Zwangsbedingungen
2. Wahl der generalisierten Koordinaten: q
3. Bestimmung der Koordinatentransformation: x = x(q, t)
4. Aufstellen der Lagrangefunktion. Hierzu müssen T und U als Funktion von q,
˙q und t angegeben werden.
5. Herleitung der Bewegungsgleichungen aus den Lagrangegleichungen
6. Lösung der Bewegungsgleichungen
7. Bestimmung der Integrationskonstanten durch Anfangsbedingungen
Massenpunkt auf schiefer Ebene
Ein einfaches Beispiel ist die Bewegung eines Massenpunktes auf einer schiefen Ebene
mit Neigungswinkel α im Schwerefeld (Abb.5.2). Verwendet man Polarkoordinaten
(r, ϕ), so ist der Winkel durch die Zwangsbedingung, ϕ − α = 0 festgelegt. Der
Radius kann als verallgemeinerte Koordinate q = r gewählt werden. Die Koordinatentransformation
lautet
x = r cos α, z = r sin α .
Durch Ableitung erhält man die Geschwindigkeiten
und damit die kinetische Energie
Die potentielle Energie ist
˙x = ˙r cos α, ˙z = ˙r sin α
T = 1
2 m( ˙x2 + ˙z 2 ) = 1
2 m ˙r2 (cos 2 α + sin 2 α) = 1
2 m ˙r2 .
U = mgz = mgr sin α.
Die Lagrangefunktion besitzt damit die Form
L(r, ˙r) = T − U = 1
2 m ˙r2 − mgr sin α.