Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 60
Damit lauten der Drehimpuls- und Energieerhaltungssatz
L = mr 2 ˙ϕ = const, (4.50)
E = 1
2 m ˙r2 + 1
2 mr2 ˙ϕ 2 + U(r) = const. (4.51)
Diese Erhaltungssätze bilden ein System von 2 gekoppelten Differentialgleichungen
1. Ordnung für die Funktionen r(t) und ϕ(t). Zur eindeutigen Festlegung einer
Lösung sind noch zwei Anfangsbedingungen
r(0) = r0, ϕ(0) = ϕ0 (4.52)
erforderlich. Die Newtonsche Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt stellt ein
System von 3 gekoppelten Differentialgleichungen 2.Ordnung dar. Die allgemeine
Lösung besitzt 6 Integrationskonstanten. 4 Integrationskonstanten werden durch
die Energie und die drei Komponenten des Drehimpulses bestimmt. Die restlichen
beiden Integrationskonstanten sind durch (4.52) festgelegt.
Integration der Bewegungsgleichungen
Eliminiert man ˙ϕ mit Hilfe der Beziehungen
so lautet der Energiesatz
˙ϕ = L
,
mr2 1
2 mr2 ˙ϕ 2 = L2
2mr 2
(4.53)
E = 1
2 m ˙r2 + Ueff(r), Ueff(r) = U(r) + L2
. (4.54)
2mr2 Man kann die Radialbewegung r = r(t) als eine eindimensionale Bewegung in einem
effektiven Potential Ueff(r) auffassen und entsprechend integrieren
2
˙r = ±
m (E − Ueff), t = ±
r(t)
r0
dr ′
.
2 (E − Ueff)
m
Die Lösung t = t(r) bestimmt implizit die Radialbewegung r = r(t). Damit kann
die Winkelbewegung ϕ = ϕ(t) ebenfalls integriert werden,
ϕ(t) = ϕ0 +
t
0
L
mr 2 dt′ . (4.55)