Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 90
5.3.1 Herleitung
Gegeben sei ein System von N Massenpunkten mit k holonomen Zwangsbedingungen
Generalisierte Koordinaten
mi¨xi = Fi + Zi, i = 1, 2, · · · , 3N
g l (x, t) = 0, l = 1, 2, · · · , k .
Die Zwangsbedingungen bestimmten zu jedem Zeitpunkt eine Hyperfläche im Konfigurationsraum.
Auf dieser Hyperfläche können geeignete, i.a. krummlinige, Koordinaten
q1, q2, · · · , qn, · · · , qf gewählt werden, wobei f die Dimension der Hyperfläche
bezeichnet. Solche Koordinaten werden als generalisierte oder verallgemeinerte
Koordinaten bezeichnet. Generalisierte Koordinaten auf einer Kugel sind z.B.
die Winkel ϕ, ϑ der Kugelkoordinaten. Die Koordinatentransformation zwischen den
generalisierten Koordinaten und den kartesischen Koordinaten besitzt die Form
xi = xi(q1, q2, · · · , qf, t), i = 1, 2, · · · , 3N (5.26)
Abkürzend verwenden wir auch die Notation x = x(q, t), wobei q für die Argumente
q1, q2, · · · , qf steht.
D’Alembertsches Prinzip in generalisierten Koordinaten
Der Ortsvektor auf der momentanen Hyperfläche wird durch (5.26) dargestellt. Eine
virtuelle Verrückung ist definitionsgemäß eine infinitesimale Verschiebung dieses
Ortsvektors bei festgehaltener Zeit. Dafür erhalten wir durch Differentiation,
δxi =
f
n=1
∂xi
δqn. (5.27)
∂qn
Die Verrückungen δq auf der Hyperfläche unterliegen keinen Einschränkungen mehr.
Die Vektoren
a n = ∂x
, n = 1, · · · , f (5.28)
∂qn
bilden in jedem Punkt der Hyperfläche eine lokale Basis (Abb.5.6). Hierbei ist an ein Tangentenvektor an die qn-Koordinate.
Mit (5.27), (5.28) lautet das d’Alembertsche Prinzip (5.17),
(m · ¨x − F ) · a n δqn = 0. (5.29)
n