Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 115
Transformation der Drehimpulsänderung auf das körperfeste System ergibt dann,
dL
dt
S
= dL
=
dt + ω × L
K
dω K
Θ· + ω× (Θ · ω)
dt
(5.100)
In Komponentenschreibweise lautet das Gleichungssystem
Θ1 ˙p + (Θ3 − Θ2)qr = N1
Θ2 ˙q + (Θ1 − Θ3)pr = N2 (5.101)
Θ3 ˙r + (Θ2 − Θ1)pq = N3.
Hierbei sind die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit durch (5.88) und die
Hauptträgheitsmomente durch (5.94) definiert. Diese Gleichungen werden als Eulersche
Kreiselgleichungen bezeichnet. Sie bestimmen die Eulerwinkel und damit die
Orientierung des starren Körper als Funktion der Zeit.
5.7.6 Kräftefreie Bewegung
Bei der Diskussion der Eulerschen Kreiselgleichungen beschränken wir uns auf den
kräftefreien Fall. Hier verschwindet das Drehmoment N auf der rechten Seite von
(5.101).
Gleichförmige Rotation eines unsymmetrischen Kreisels
Wir untersuchen zuerst unter welchen Bedingungen ein unsymmetrischer Kreisel um
eine körperfeste Achse gleichförmig rotieren kann. Unter der Voraussetzung ˙ω = 0
folgt aus (5.100), daß der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit gerichtet
sein muß,
L = Θ · ω = Θiω
Dies ist die Bedingung für eine Hauptträgheitsachse. Somit sind gleichförmige Rotationen
nur um Hauptträgheitsachsen möglich.
Die Drehachse sei nun nahezu parallel zu einer Hauptträgheitsachse. Ohne Einschränkung
sei dies die Achse mit dem Hauptträgheitsmoment Θ1, so daß q