Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 116
Aus der ersten Gleichung folgt, daß p = p0 als konstant angenommen werden kann.
Aus den beiden anderen Gleichungen erhält man die Schwingungsgleichungen
¨q + Hq = 0, ¨r + Hr = 0, H = (Θ1 − Θ3)(Θ1 − Θ2)
p 2 0.
Θ2Θ3
Für H > 0 ist die Drehung um die Hauptträgheitsachse stabil, für H < 0 instabil.
Stabile Drehungen erfolgen daher um die Hauptträgheitsachsen mit dem kleinsten
und dem größten Trägheitsmoment. Die Drehung um die Hauptträgheitsachse mit
dem mittleren Trägheitsmoment ist instabil.
Symmetrischer Kreisel
Gegeben sei nun ein symmetrischer Kreisel mit der Symmetrieachse x3. Die Symmetrieachse
wird als Figurenachse bezeichnet. Setzt man
Θ1 = Θ2, w = (Θ1 − Θ3)
so reduzieren sich die Bewegungsgleichungen (5.101) auf die Form
˙p − wqr = 0
Θ1
˙q + wpr = 0 (5.103)
˙r = 0.
Die Lösung bestimmt die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit im körperfesten
System,
p = ˙ φ sin θ sin ψ + ˙ θ cos ψ = a sin(wt + ψ0),
q = ˙ φ sin θ cos ψ − ˙ θ sin ψ = ˙p
w = a cos(wt + ψ0), (5.104)
r = ˙ φ cos θ + ˙ ψ = r0,
mit Integrationskonstanten a, ψ0 und r0. Die Winkelgeschwindigkeit ω bildet einen
festen Winkel γ mit der Figurenachse, der durch tan γ = a/r0 bestimmt ist. Dabei
läuft sie auf einem Kegel, dem Polkegel, um die Figurenachse um.
Im Inertialsystem ist der Drehimpuls erhalten. Wählt man die z- Achse des Inertialsystems
in Richtung des Drehimpulsvektors, so gilt L = L0ez. Die Komponenten
von L im körperfesten System sind dann
⎛
⎝
L1
L2
L3
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
ez·e1
⎠ = L0 ⎝ ez·e2 ⎠ = L0 ⎝
ez·e3
sin θ sin ψ
sin θ cos ψ
cos θ
⎞
⎛
⎠ = ⎝
θ1p
θ2q
θ3r
⎞
⎠ . (5.105)