Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 52
Aus (4.22) folgt, daß der Vektor F +∇U senkrecht auf der Geschwindigkeit v steht.
Mit einem beliebigen Vektor A gilt daher für konservative Kräfte
F = −∇U + v×A. (4.26)
Insbesondere haben geschwindigkeitsunabhängige konservative Kräfte die einfache
Form
F = −∇U. (4.27)
Ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür, daß eine geschwindigkeitsunabhängige
Kraft in einem zusammenhängenden Gebiet konservativ ist, lautet
∇ × F = 0. (4.28)
Man bezeichnet das Kreuzprodukt von F mit Nabla als die Rotation von F . In
Komponenteschreibweise gilt,
(∇ × F )i =
jk
ɛijk
∂Fk
.
∂xj
Die Bedingung ist notwendig. Ist F konservativ, so folgt daraus notwendig (4.28).
Denn eine konservative ortsabhängige Kraft ist nach (4.27) aus einem Potential
ableitbar und die Rotation des Gradienten verschwindet:
(∇ × F )i = −
jk
ɛijk
∂ 2 U
∂xj∂xk
= −
kj
ɛikj
∂ 2 U
∂xk∂xj
=
jk
ɛijk
∂ 2 U
∂xj∂xk
= 0.
Umgekehrt kann man auch zeigen, daß die Bedingung (4.28) hinreichend dafür ist,
daß die Arbeit wegunabhängig ist. Dies folgt aus dem Stokeschen Satz, der aber erst
in der Vektoranalysis und in der Elektrostatik behandelt wird.
4.3 Systeme von Massenpunkten
Wir betrachten nun ein System von N Massenpunkten mit den Bewegungsgleichungen
mi¨ri = F i, i = 1, 2, 3, · · · , N. (4.29)
Für die Kraft auf den i-ten Massenpunkt gilt das Superpositionsprinzip der Kräfte,
F i =
N
j=1,j=i
F ij + F e
i . (4.30)