Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 16
-a
U
E
+a
x
Abbildung 2.3: Bewegung des harmonischen Oszillators im Potential und in der
Phasenebene
-a
p
+b
S(E)
Die Zeitabhängigkeit der Bewegung ergibt sich aus dem Integral
t =
x
x0
dx
v(x)
mit
2
v(x) = ± (E − U) = ±ω0
m
Das Integral kann durch eine Substitution
-b
+a
x
(2.18)
√ a 2 − x 2 . (2.19)
x = a cos ϕ, v = aω0 sin ϕ. (2.20)
ausgewertet werden. Der Ausdruck für v ergibt sich aus (2.19) indem man dort x
substituiert und 0 < ϕ < π für v > 0 und −π < ϕ < 0 für v < 0 setzt. Dies entspricht
einem Übergang zu den in Abb. 2.4 gezeigten Polarkoordinaten. Die Amplitude a
und die Anfangsphase ϕ0 werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt,
a =
Damit ergibt die Integration
v 2 0
ω 2 0
+ x 2 0, tan ϕ0 = v0
ϕ
ω0t = − dϕ = ϕ0 − ϕ,
ϕ0
ω0x0
. (2.21)