Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 100
Mit diesem Hilfssatz folgt aus (5.57) die Eulersche Differentialgleichung der Variationsrechnung
d ∂F
dx ∂y ′
− ∂F
∂y
= 0. (5.59)
Dies ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für die gesuchte Funktion y(x).
Die beiden Integrationskonstanten werden durch die Randbedingungen festgelegt.
5.4.2 Hamiltonsches Prinzip
Ein Vergleich der Lagrangegleichungen zweiter Art (5.39) mit der Eulerschen Differentialgleichung
der Variationsrechnung (5.59) legt es nahe, daß die Lagrangegleichungen
aus einem Variationsprinzip abgeleitet werden können. Dieses Variationsprinzip
wird als Hamiltonsches Prinzip bezeichnet.
Für ein physikalisches System mit der Lagrangefunktion L(q, ˙q, t) definiert man die
Wirkung
S[q] =
t2
t1
dt L(q, ˙q, t) . (5.60)
Die Wirkung ist ein Funktional der Bahn q(t), die in einem Zeitintervall t1 < t < t2
zwischen einem Anfangspunkt q(t1) und einem Endpunkt q(t2) durchlaufen wird.
Nach dem Hamiltonschen Prinzip ist die Wirkung für die tatsächlich durchlaufene
Bahn stationär,
δS[q] = 0 mit δq(t1) = δq(t2) = 0 . (5.61)
Als Vergleichsfunktionen sind hier alle Bahnen zwischen dem Anfangspunkt q(t1)
und dem Endpunkt q(t2) zugelassen. Da die Anfangs- und Endpunkte vorgegeben
sind, verschwindet die Variation in diesen Randpunkten.
Der Beweis des Hamiltonschen Prinzips beruht auf der oben dargestellten Variationsrechnung.
Anstatt einer Funktion y(x) müssen nun die f Funktionen q1(t), · · · , qf(t)