Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

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Kapitel 7 Relativistische Mechanik 7.1 Relativitätsprinzip Erfahrungsgemäß ist die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen gleich groß: 8 m c = 2.998 · 10 s km ≈ 300 000 . (7.1) s Dies wurde zuerst 1887 im Experiment von Michelson und Morley nachgewiesen. Die beobachtete Konstanz der Lichtgeschwindigkeit steht jedoch im Widerspruch zum Galileischen Relativitätsprinzip der Newtonschen Mechanik. Galileitransformation: Wir betrachten einen Vorschub des Koordinatensystems S ′ mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung: x ′ = x − vt, t ′ = t. (7.2) Die Phase Φ = kx − ωt einer Lichtwelle bestimmt die Anzahl der Wellenlängen 125 Abbildung 7.1: Bewegtes Koordinatensystem S ′ . Der Ursprung von S’ ist gegenüber S um vt verschoben.
Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 126 eines Wellenzuges. Sie muß daher unabhängig vom Bezugssystem sein. Aus dieser Forderung ergibt sich k ′ x ′ − ω ′ t ′ = k ′ x − (ω ′ + k ′ v)t ! = kx − ωt k = k ′ , ω = ω ′ + k ′ v. (7.3) Im Vakuum breitet sich die Lichtwelle mit der Phasengeschwindigkeit ω ′ /k ′ = ω/k = c aus. Aufgrund der Galileitransformation (7.3) erhält man jedoch c = ω k = ω′ + k ′ v k ′ = ω′ k ′ + v = c′ + v (7.4) Dies widerspricht der Beobachtung c = c ′ . Einstein hat diesen Widerspruch dadurch gelöst, daß er die Forderung nach Galilei-Invarianz durch ein neues Relativitätsprinzip (Lorentz-Invarianz) ersetzt hat. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit wird dabei als physikalisches Grundprinzip eingeführt. Einsteinsches Relativitätsprinzip (ER): (E1) Alle Inertialsysteme sind gleichwertig. (E2) Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich groß. Die Transformation zwischen Inertialsystemen, die dem ER genügen, nennt man Lorentz-Transformationen. Physikalische Gesetze, die gegenüber Lorentz- Transformationen invariant sind, nennt man lorentzinvariant oder relativistisch. 7.2 Lorentz-Transformation Als Verallgemeinerung der Galileitransformation wird eine allgemeine lineare Transformation der Koordinaten angenommen: 0 x x1 ′ 0 Λ 0 Λ = 0 1 Λ1 0 Λ1 0 x 1 x1 (7.5) Koordinaten in S : (ct, x) ≡ (x 0 , x 1 ) Koordinaten in S’ : (ct ′ , x ′ ) ≡ (x 0′ , x 1′ ) Die 4 Konstanten Λ α β hängen nur von v ab. Sie werden durch folgende Forderungen bestimmt: 1. Ursprung von S’: x 1′ = 0; x 1 = vt = βx 0 ; β = v c x 1′ = Λ 1 0x 0 + Λ 1 1x 1 = 0 x 1 x 0 = −Λ1 0 Λ 1 1 ! = β (7.6)
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