Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 98
Variation und stationäre Funktionen
Bei Variationsproblemen betrachtet man anstelle von Funktionen Funktionale. Funktionale
sind Abbildungen aus einem Funktionenraum in den Zahlenkörper:
J : y ↦→ J[y] .
Zur Einführung in die Methode der Variationsrechnung behandeln wir die folgende
Aufgabenstellung. Gesucht sei diejenige Funktion y(x) im Intervall x1 < x < x2, mit
den Randwerten
y(x1) = y1, y(x2) = y2
für die das Integral
J[y] =
x2
x1
dxF (y, y ′ , x) (5.50)
stationär ist. Hierbei seien die Funktionen F (y, y ′ , x) und y(x) bezüglich ihrer Argumente
zweimal stetig differenzierbar.
Das Variationsproblem kann auf eine gewöhnliche Extremwertaufgabe zurückgeführt
werden. Hierzu sei vorausgesetzt, daß eine Lösung y(x) des Variationsproblems innerhalb
einer vorgegebenen Funktionenklasse existiert. Die Vergleichsfunktionen in
einer Nachbarschaft dieser Funktion seien
y(x) = y(x) + δy(x), δy(x) = ɛη(x) . (5.51)
wobei ɛ ein Parameter ist, der hinreichend klein gewählt werden kann. Man nennt
δy eine Variation von y. Aufgrund der vorgegebenen Randwerte muß die Variation
für alle Vergleichsfunktionen y am Rand verschwinden
δy(x1) = δy(x2) = 0. (5.52)
Mit diesem Ansatz ist J(ɛ) = J[y + ɛη] eine gewöhnliche Funktion der Variablen ɛ.
In Analogie zum Differential einer Funktion bezeichnet man den Ausdruck
δJ = J[y + δy] − J[y] = dJ(ɛ)
ɛ (5.53)
dɛ
als die Variation von J.
Funktionen bei denen die Variation von J verschwindet heißen stationäre Funktionen:
ɛ=0
y stationär ⇐⇒ δJ = 0. (5.54)