Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 132
7.3.4 Eigenzeit
Die Eigenzeit τ einer Uhr wird definiert als die Zeit im Ruhesystem der Uhr:
v = 0 ⇒ ds 2 = c 2 dτ 2 ; τ2 − τ1 = 1
c (s2 − s1) (7.32)
Die Eigenzeit ist unabhängig vom Inertialsystem, da der Abstand s2 − s1 lorentzinvariant
ist.
Zeit einer bewegten Uhr: Zur Zeit t bewege sich die Uhr in S mit Geschwindigkeit
v(t). Im infinitesimalen Zeitintervall dt bewegt sie sich mit der momentanen
Geschwindigkeit v(t) über eine Strecke dx = v(t)dt. In einem Inertialsystem S ′ , welches
sich mit der konstanten Geschwindigkeit v0 = v(t) bewegt ist die Uhr momentan
in Ruhe. Dem Zeitintervall dt entspricht das Eigenzeitintervall
√ c 2 dt 2 − dx 2
dτ = 1 1
ds =
c c
= 1 − v2 (t)/c2dt (7.33)
Für ein endliches Zeitintervall von t1 bis t2 gilt daher
τ =
t2
t1
1 − v2 (t)
dt. (7.34)
c2 Eine in S bewegte Uhr geht daher langsamer als eine in S ruhende Uhr.
Um den Zeitvergleich der beiden Uhren zur Zeit t1 und t2 ausführen zu können,
müssen sich die Uhren zu diesen Zeitpunkten am selben Ort befinden. Dies ist nur
möglich, falls die bewegte Uhr im Zeitintervall zwischen t1 und t2 beschleunigt wurde.
Da in beschleunigten Bezugssystemen andere Gesetze gelten, ist die angezeigte
Zeitdifferenz der Uhren nicht im Widerspruch zum Relativitätsprinzip. Diejenige der
beiden Uhren, die beschleunigt wurde, geht nach.
(Zwillingsparadoxon, Lebensdauer schneller Myonen).
7.3.5 Gleichzeitigkeit
Nach dem Galileischen Relativitätsprinzip können sich die Zeiten t und t ′ in zwei
Inertialsystemen nur durch eine Konstante t0 unterscheiden:
t ′ = t + t0
(7.35)
Daher sind Zeitdifferenzen zwischen 2 Ereignissen in allen Inertialsystemen gleich
groß:
∆t ′ = ∆t (7.36)