Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 86
A l (x, t) · dx + B l (x, t)dt = 0, l = 1, 2, · · · , k. (5.15)
Hierbei sind F und Z Vektoren im Konfigurationsraum, deren Komponenten durch
die Kräfte F j und Zwangskräfte Zj auf die Massenpunkte bestimmt werden,
⎛ ⎞
⎛ ⎞
F j = ⎝
F3j−2
F3j−1
F3j
⎠ , Zj = ⎝
Z3j−2
Z3j−1
Die Matrix m ist eine Diagonalmatrix mit den Matrixelementen mik = miδik. Die
Diagonalelemente mi werden durch die Massen Mj der Massenpunkte definiert
⎛ ⎞
Mj = ⎝
m3j−2
m3j−1
5.2.1 D’Alembertsches Prinzip
Die Zwangskraft wird durch die zugehörige Zwangsbedingung mathematisch nicht
eindeutig bestimmt. In den Beispielen aus Abschnitt (5.1.2) wurden die Komponenten
der Zwangskräfte in Richtung der virtuellen Verrückungen jeweils Null gesetzt.
Diese Wahl beruht auf einem physikalischen Postulat über die Richtung der Zwangskraft,
welches als das d’Alembertsche Prinzip bezeichnet wird:
Die Richtung der Zwangskraft Z ist so zu wählen, daß für beliebige virtuellle
Verrückungen δx
Z · δx =
3N
i=1
m3j
⎠ .
Z3j
⎠
Ziδxi = 0. (5.16)
gilt. Man sagt auch, die Zwangskräfte leisten keine virtuelle Arbeit. Hierbei ist aber
zu beachten, daß die virtuelle Arbeit i.a. nicht die tatsächliche Arbeit darstellt.
Das d’Alembertsche Prinzip definiert die Zwangskräfte. Daneben können in realen
physikalischen Systemen auch andere Kräfte, wie z.B. Reibungskräfte, durch den
Kontakt mit Führungselementen hervorgerufen werden.
Eine alternative Formulierung des d’Alembertschen Prinzips erhält man, indem man
die Zwangskräfte mit Hilfe der Bewegungsgleichung eliminiert,
(F − m · ¨x) · δx = 0. (5.17)