Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 81
Lineare differentielle Zwangsbedingungen
Das totale Differential von (5.1) definiert in jedem Punkt eine lineare differentielle
Zwangsbedingung,
3N ∂g
dg(x, t) = dxi +
∂xi
∂g
dt = 0. (5.2)
∂t
i=1
Lineare differentielle Zwangsbedingungen besitzen die allgemeine Form,
3N
i=1
Ai(x, t)dxi + B(x, t)dt = 0, (5.3)
mit beliebigen Funktionen Ai(x, t) und B(x, t). Differentielle Zwangsbedingungen
können holonom oder nicht-holonom sein. Im holonomen Fall ist (5.3) das totale
Differential einer Funktion g(x, t). Dazu müssen Integrabilitätsbedingungen erfüllt
sein. Im Rahmen der Lagrangegleichungen erster Art wird nur die lineare differentielle
Form der Zwangsbedingungen vorausgesetzt.
Dividiert man (5.3) durch dt, so ergeben sich Zwangsbedingungen, die außer von
den Lagekoordinanten auch noch linear von den Geschwindigkeiten abhängen.
3N
i=1
Ai(x, t)vi + B(x, t) = 0, (5.4)
Ein Beispiel dieser Art ist die Zwangsbedingung für das rollende Rad. Allgemeinere
Zwangsbedingungen, die sich nicht in der Form von (5.3) schreiben lassen, sind
z.B. Ungleichungen oder Gleichungen, die nicht linear von den Geschwindigkeiten
abhängen.
Rheonome und skleronome Zwangsbedingungen
Man unterscheidet auch noch zeitabhängige, g = g(x, t), und zeitunabhängige,
g = g(x), Zwangsbedingungen. Zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen rheonom,
zeitunabhängige skleronom.
Hyperflächennormale und virtuelle Verrückungen
Wir betrachten nun die durch eine holonome Zwangsbedingung definierte Hyperfläche
zu einem festen Zeitpunkt t. Die Richtung der Hyperflächennormalen wird
durch den Gradienten
A(x, t) =
∂g(x, t)
. (5.5)
∂x