Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 93
Allgemeiner nennt man eine Funktion U(q, ˙q, t) ein generalisierte Potential, falls die
generalisierte Kraft in der Form
Qn = d
∂U
−
dt ∂ ˙qn
∂U
∂qn
(5.38)
darstellbar ist. Das geschwindigkeitunabhängige Potential (5.37) ist ein Spezialfall
hiervon.
Lagangegleichungen zweiter Art
Existiert ein Potential, so können die kinetische und die potentielle Energie in der
Bewegungsgleichung (5.36) zusammengefasst werden,
d ∂T
−
dt ∂ ˙qn
∂T
− Qn
∂qn
= d
∂T
−
dt ∂ ˙qn
∂T
−
∂qn
d
∂U
−
dt ∂ ˙qn
∂U
∂qn
= d
∂(T − U) ∂(T − U)
− .
dt ∂ ˙qn ∂qn
Damit erhält man aus (5.36)
mit
d
dt
∂L
∂ ˙qn
= ∂L
, n = 1, · · · , f, (5.39)
∂qn
L(q, ˙q, t) = T (q, ˙q, t) − U(q, ˙q, t).
Man nennt L(q, ˙q, t) die Lagrangefunktion und (5.39) die Lagrangegleichungen zweiter
Art. Dies ist ein System von f Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die
Bewegung q(t) auf der Hyperfläche. Es ist im allgemeinen einfacher zu behandeln
als die 3N + k gekoppelten Lagrangegleichungen erster Art.
5.3.2 Anwendung
Lösungsweg
Ein mechanisches System mit holonomen Zwangsbedingungen wird damit
vollständig durch die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten q, durch Anfangsbedingungen
(q0, ˙q0) und durch die Angabe der Lagrangefunktion L(q, ˙q, t) in diesen