Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 104
Ersetzt man in der Wirkung die Integrationsvariable t ′ durch t und entwickelt um
die Stelle ɛ = 0 bis zur linearen Ordnung in ɛ, so folgt
S ′ =
t2
t1
′ dt
dt
dt L(q′ , ˙q ′ , t ′
) = S + ɛ
t2
t1
dt d
′ dt
dɛ dt L(q′ , ˙q ′ , t ′
ɛ=0
) ,
wobei S die Wirkung in den alten Koordinaten bezeichnet. Eine Symmetrie des Systems
gegenüber einer infinitesimalen Punkttransformationen liegt dann vor, wenn
die Transformation nur zu einer ”Umeichung” der Lagrangefunktion führt. In diesem
Fall gilt für den Zusatzterm in der Wirkung S ′
′ d dt
dɛ dt L(q′ , ˙q ′ , t ′
ɛ=0
) = d
f(q, t). (5.67)
dt
Die Invarianzbedingung (5.67) ist der formale Ausdruck für eine Symmetrie des
durch die Lagrangefunktion L beschriebenen Systems gegenüber der Punkttransformation
(5.66).
Erhaltungsgrößen
Das Noether-Theorem kann nun in der folgenden Form angegeben werden. Für jede
einparametrige infinitesimale Punkttransformation (5.66), die einer Invarianzbedingung
der Form (5.67) genügt, gibt es eine Erhaltungsgröße. Diese lautet
I =
f
n=1
∂L
ψn + L −
∂ ˙qn
f
n=1
∂L
˙qn
∂ ˙qn
φ − f(q, t) . (5.68)
Als Beispiele betrachten wir die Energie-, Impuls- und Drehimpulserhaltung. Die
Energieerhaltung folgt aus der Homogenität der Zeit. Für eine infinitesimale Zeittranslation,
t ′ = t + ɛ, ist ψ = 0 und φ = 1. Hängt die Lagrangefunktion nicht
explizit von der Zeit ab, so ist die Invarianzbedingung (5.67) mit f = 0 erfüllt.
Dann entspricht der Erhaltungsgröße (5.68) die Energie,
E =
f
n=1
∂L
˙qn − L.
∂ ˙qn
Die Impulserhaltung folgt aus der Homogenität des Raumes. Für eine infinitesimale
räumliche Translation, q ′ n = qn + ɛ, ist ψn = 1 und φ = 0. Hängt die Lagrangefunktion
nicht explizit von der Koordinate qn ab, so ist (5.67) mit f = 0 erfüllt. Dann