Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 20
Im Grenzfall starker Dämpfung, ω0/β ≪ 1, läßt sich die Lösung noch weiter vereinfachen.
Unter Verwendung der Potenzreihenentwicklung,
erhält man
√ 1
1 + x = 1 + x + · · ·
2
γ = β 1 − ω2 0/β2
≈ β 1 − ω2 0
2β2
λ1 = − ω2 0
2β , λ2 = −2β.
Diese Relaxationsraten entsprechen den oben behandelten Grenzfällen (2.26) und
(2.27). Da |λ1| ≪ |λ2| ist, handelt es sich hier um ein Beispiel einer Differentialgleichung,
deren Lösungen stark unterschiedliche Zeitskalen aufweisen. Für große
Zeiten spielt nur der langsam veränderliche Anteil eine Rolle. Für kleine Zeiten
benötigt man den schnell veränderlichen Anteil, um die Anfangsbedingungen erfüllen
zu können. Mit den Anfangswerten
folgt
A1 = x0 + v0
2β , A2 = − v0
2β
x(t) = x0e λ1t v0 λ1t λ2t
+ e − e
2β
.
Bei einer Anfangsauslenkung x0 relaxiert die Amplitude auf der langsamen Zeitskala
in die Ruhelage. Bei einer Anfangsgeschwindigkeit v0 relaxiert die Amplitude
dagegen zuerst schnell ins Kräftegleichgewicht und danach langsam in die Ruhelage
(Abb. (2.5)).
x(t)
Abbildung 2.5: Auslenkung x(t) als Superposition
einer schnell und langsam
relaxierenden Lösung. Für große Zeiten
nähert sich x(t) asymptotisch der
langsam relaxierenden Lösung. Diese
Lösung erfüllt jedoch nicht die Anfangsbedingung
x0 = 0. Daher ist für
kleine Zeiten auch die schnell relaxierende
Lösung erforderlich.