Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 59
4.4 Zentralpotential
Wir betrachten nun die Bewegung eines Massenpunktes in einem Zentralfeld der
Form,
U = U(r), F = −∇U = −U ′ (r) r
.
r
(4.49)
Die potentielle Energie hängt nur vom Abstand r vom Kraftzentrum ab. Die Äquipotentialflächen
sind Kugelflächen. Der Gradient zeigt in Richtung der Flächennormalen.
Die abgeleitete Zentralkraft ist daher in radialer Richtung gerichtet. Ein
Zentralfeld wird von einer Masse erzeugt, die so groß ist, daß sie als unbeweglich im
Ursprung des Koordinatensystems angenommen werden kann.
Erhaltungssätze
Die Bewegung eines Teilchens im Zentralpotential kann man aufgrund der Erhaltung
des Drehimpulses und der Energie auf eine eindimensionale Bewegung in einem
effektiven Potential zurückführen.
Eine Zentralkraft erzeugt kein Drehmoment, da sie parallel zum Ortsvektor gerichtet
ist,
N = r × F = (F (r)/r)r × r = 0.
Damit gilt der Drehimpulserhaltungssatz (4.13). Wie bereits gezeigt, verläuft die
Bahn in diesem Fall in einer Ebene senkrecht zum Drehimpulsvektor. In der Bahnebene
beschreiben wir die Bewegung durch Polarkoordinaten (r(t), ϕ(t)).
Abbildung 4.6: In Polarkoordinaten(r, ϕ) ist die
Änderung des Ortsvektors dr = drer + rdϕeϕ.
Unter Verwendung der Darstellung (3.50) oder nach Abb.(4.6) erhält man in Polarkoordinaten
r = rer, v = ˙rer + r ˙ϕeϕ, r × v = r 2 ˙ϕez, v 2 = ˙r 2 + r 2 ˙ϕ 2 .