Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

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Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 25 Massenänderung ohne Rückstoß Für eine zeitabhängige Masse m(t) lautet der Impulssatz, d [m (t) v] = F, ˙p = m ˙v + ˙mv = F, m ˙v = F − ˙mv (2.40) dt Diese Form der Bewegungsgleichung tritt bei relativistischen Teilchen auf, deren Geschwindigkeit im Bereich der Lichtgeschwindigkeit c liegt. In diesem Fall ist die Zeitabhängigkeit der Masse durch die Geschwindigkeit gegeben, m(t) = m0γ, γ = 1 1 − v2 c2 , wobei m0 die Ruhemasse bezeichnet. Eine allgemeine Begründung der relativistischen Bewegungsgleichung wird in der relativistischen Mechanik gegeben. Massenänderung mit Rückstoß Die Bewegungsgleichung (2.40) berücksichtigt noch nicht die Impulsänderung, die durch die zu- oder abgeführte Masse hervorgerufen wird. Im Zeitintervall dt werde der Masse m mit der Geschwindigkeit v eine zusätzliche Masse dm mit der Geschwindigkeit v ′ = v+vr zugeführt. Hierbei ist vr die Geschwindigkeit der Masse dm relativ zur Masse m. Der Gesamtimpuls der noch getrennten Massen ist mv + (dm)v ′ . Der Impuls der Gesamtmasse nach der Zeit dt ist (m + dm)(v + dv). Für die gesamte Impulsänderung gilt demnach dp = (m + dm)(v + dv) − [mv + (dm)v ′ ] = mdv + (dm)(v − v ′ ) = F dt. Die Bewegungsgleichung lautet in diesem Fall m ˙v = F + ˙mvr. (2.41) Auf der rechten Seite steht nun die Relativgeschwindigkeit der zugeführten Masse. Wird die Masse dm ohne Impulsübertrag zugeführt, d.h. v ′ = 0, so gilt vr = −v und man erhält wieder das Ergebnis (2.40). Ein Anwendungsbeispiel für die Gleichung (2.41) ist die Beschleunigung einer Rakete durch den Rückstoß des verbrannten Brennstoffs. Nimmt man an, daß pro Zeiteinheit eine konstante Masse µ der Antriebsgase mit einer konstanten Geschwindigkeit u austritt, so gilt entsprechend ˙m = −µ und vr = −u. Auf die Rakete wirkt also bei abnehmender Masse eine konstante Antriebskraft ˙mvr = µu.
Kapitel 3 Kinematik Die Kinematik beschreibt Bewegungen ohne Bezugnahme auf die wirkenden Kräfte. Kinematische Grundgrößen sind die Geschwindigkeit und Beschleunigung. Von besonderem Interesse sind Koordinatentransformationen beim Wechsel des Bezugssystems. Man unterscheidet Koordinatentransformationen zwischen Inertialsystemen und Koordinatentransformationen von Inertialsystemen in beschleunigte Bezugssysteme. In beschleunigten Systemen treten sogenannte Scheinkräfte auf, deren Ursache in der beschleunigten Bewegung des Bezugssystems liegt. 3.1 Inertialsysteme Inertialsysteme sind Bezugssysteme, in denen sich ein kräftefreier Körper geradlinig und gleichförmig bewegt. Die besondere Bedeutung der Inertialsysteme beruht darauf, daß es diejenigen Bezugssysteme sind, in denen die Newtonsche Bewegungsgleichung gilt. 3.1.1 Galileisches Relativitätsprinzip Es gibt viele verschiedene Inertialsysteme. Das Galileische Relativitätsprinzip besagt allgemein: Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt. Demnach ist es nicht möglich physikalisch zwischen zwei Inertialsystemen zu unterscheiden. In einem Zug, der mit konstanter Geschwindigkeit fährt, ist es z.B. nicht möglich die Geschwindigkeit des Zuges durch eine Messung innerhalb des Zuges festzustellen. 26
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Kapitel 5 Lagrangesche Mechanik Die
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Kapitel 6 Hamiltonsche Mechanik Die
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