Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 108
bestimmt werden. Hierbei ist D(λ) ein Polynom vom Grad f, das f komplexe Nullstellen
besitzt. Diese seien
λk, k = 1, · · · , f .
Treten Mehrfachnullstellen auf, so sind einige der λk gleich. Zu einer r-fachen Nullstelle
bestimmt das Gleichungessystem
(k − λkµ) · A (k) = 0 (5.78)
einen r-dimensionalen Lösungsraum, d.h. r der Komponenten von A (k) können beliebig
gewählt werden, die restlichen Komponenten sind dann durch das Gleichungssystem
eindeutig bestimmt. Insgesamt findet man auf diese Weise f Lösungsvektoren
A (k) .
Eigenfrequenzen
Zu jeder Nullstelle λk gibt es eine Frequenz ωk = √ λk. Diese werden auch als
Eigenfrequenzen bezeichnet. Wir zeigen, daß die Eigenfrequenzen für ein stabiles
Gleichgewicht reell sind.
Im allgemeinen besitzt ein Polynom komplexe Nullstellen. Aus der Symmetrie der
Matrizen folgt jedoch, daß die Nullstellen λk reell sind. Um dies zu zeigen, nehmen
wir zunächst an, es gäbe eine komplexe Nullstelle λ und einen zugehörigen komplexen
Lösungsvektor A. Durch skalare Multiplikation von (5.78) mit A ∗ erhält man
Die konjugiert komplexe Gleichung ist
λ = A∗ · k · A
A ∗ · µ · A .
λ ∗ = (A∗ · k · A) ∗
(A ∗ · µ · A) ∗
Für eine hermitesche Matrix, Mmn = M ∗ nm, ist
(A ∗ · M · A) ∗ = A · M ∗ · A ∗ = A ∗ · M · A
reell. Die reellen symmetrischen Matrizen µmn und kmn sind auch hermitesch. Daraus
folgt λ ∗ = λ, so daß λ tatsächlich reell ist. Damit können auch die Lösungsvektoren
A reell gewählt werden. Da die Matrizen außerdem positiv definit sind, folgt sogar,
daß alle Nullstellen positiv sind. Daher können auch die Eigenfrequenzen ωk reell
und positiv gewählt werden.
Eine Sonderrolle spielt die doppelte Nullstelle ω 2 k = 0. Wegen ¨ ξ = −ω 2 ξ entspricht
diese Lösung einer gleichförmigen Bewegung
ξ = ξ0 + ˙ ξ0t.