Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 87
Ein Spezialfall des d’Alembertschen Prinzips ist das Prinzip der virtuellen Arbeit.
Für ein Kräftegleichgewicht, bei dem alle Koordinaten zeitunabhängig sind, gilt die
Gleichgewichtsbedingung,
Im Gleichgewicht leisten die Kräfte keine virtuelle Arbeit.
F · δx = 0. (5.18)
Als Beispiel für das Prinzip der virtuellen Arbeit betrachten wir das Gleichgewicht
eines Hebels (Abb.5.5). Die virtuellen Verrückungen der Massen m1,2 bei einer Drehung
um den vektoriellen Drehwinkel δϕ sind jeweils δr1,2 = δϕ×r 1,2. Aus dem
Prinzip der virtuellen Arbeit folgt
F 1·(δϕ×r 1) + F 2·(δϕ×r 2) = δϕ·(r1×F 1 + r2×F 2) = 0.
Der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn sich die Drehmomente in Richtung der Drehachse
zu Null addieren.
Abbildung 5.5: Virtuelle
Verrückungen eines Hebels
aus der Gleichgewichtslage.
5.2.2 Bewegungsgleichungen mit Zwangskräften
Mit Mitteln der Variationsrechnung kann man aus dem d’Alembertschen Prinzip die
Bewegungsgleichungen mit Zwangskräften herleiten. Wir wollen diese hier lediglich
angeben. Für jede Zwangsbedingung kann man die zugehörige Zwangskraft in der
Form
Z l = λ l A l
(5.19)
mit einer noch unbestimmten Funktion λ l (t) ansetzen. Dieser Ansatz erfüllt das
d’Alembertsche Prinzip, da die virtuellen Verrückungen definitionsgemäß den Bedingungen
A l · δx = 0, l = 1, 2, · · · , k