Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 58
besitzt und daß die Größe
G(t) =
pi(t)·ri(t) i
für alle Zeiten beschränkt bleibt. Die letzte Annahme ist erfüllt wenn die Bewegung
in einem endlichen Raumgebiet lokalisiert ist und die Energie endlich bleibt. Dies ist
insbesondere bei allen beschränkten periodischen Bewegungen der Fall. Dann gilt
der Virialsatz
wobei
T = − 1
2
1
f = lim
τ→∞ τ
F i·ri
i
+τ/2
−τ/2
das Zeitmittel der Funktion f(t) bezeichnet.
f(t)dt
Beweis: Der Beweis des Virialsatzes beruht auf der Identität
dG
dt
=
i
˙p i·ri + pi· ˙ri =
F i·ri + 2T.
Da G beschränkt ist, verschwindet das Zeitmittel der linken Seite:
dG
dt
G(τ/2) − G(−τ/2)
= lim
τ→∞ τ
i
= 0.
Aus dem Zeitmittel der rechten Seite ergibt sich dann (4.48).
(4.48)
Beispiele: Für einen harmonischen Oszillator mit der potentiellen Energie U =
fx2 /2 folgt aus dem Virialsatz die Gleichverteilung von kinetischer und potentieller
Energie,
T = − 1
(−fx)x = U
2
Für ein Zentralpotential U = −α/r einer Zentralkraft F = −αr/r3 ist die mittlere
kinetische Energie betragsmäßig halb so groß wie die mittlere potentielle Energie,
T = − 1
2 (−αr/r3 )·r = − 1
U .
2
Für ein freies Teilchen (F = 0) ergibt der Virialsatz das offensichtlich unrichtige
Ergebnis T = 0. Hier ist die Voraussetzung des Satzes nicht erfüllt, daß die Bewegung
in einem endlichen Raumbereich verläuft.