Theoretische Physik: Mechanik - Skriptum zur Vorlesung - Laserphysik

Theoretische Physik: Mechanik WS 02/03, H.-J. Kull 101
variiert werden:
δS = S[q + δq] − S[q]
t2
= dt {L(q + δq, ˙q + δ ˙q, t) − L(q, ˙q, t)}
=
=
t1
t2
f
∂L
dt
∂qn
n=1
t1
⎧
f ⎨
∂L
δqn
⎩∂
˙qn
n=1
t2
t1
δqn + ∂L
δ ˙qn
∂ ˙qn
+
t2
t1
∂L
dt −
∂qn
d
dt
⎫
∂L
⎬
δqn = 0 . (5.62)
∂ ˙qn ⎭
Aufgrund der Randbedingungen δq(t1) = δq(t2) = 0 verschwindet der Randterm
bei der partiellen Integration. Da die Variationen δqn(t) unabhängig voneinander
gewählt werden können, muß jeder der f Summanden für sich allein verschwinden.
Wegen (5.58) gilt dann
d
dt
∂L
∂ ˙qn
− ∂L
∂qn
= 0, n = 1, · · · , f . (5.63)
Die Eulerschen Differentialgleichungen des Hamiltonschen Variationsprinzips sind
also genau die Lagrangegleichungen der Mechanik.
Eichtransformationen
Die Lagrangefunktion eines mechanischen Systems ist nicht eindeutig. Multipliziert
man die Lagrangefunktionen L mit einem konstanten Faktor c, so führt die neue
Lagrangefunktion L ′ = cL auf dieselben Bewegungsgleichungen. Dasselbe gilt bei
Addition einer Konstanten, L ′ = L + c. Diese Lagrangefunktionen sind also völlig
gleichwertig.
Unter einer Eichtransformation versteht man eine allgemeinere Transformation
L ′ = L + d
f(q, t), (5.64)
dt
der Lagrangefunktion. Die neue Lagrangefunktion L ′ unterscheidet sich dabei von
der alten Lagrangefunktion L durch eine totale Zeitableitung einer beliebigen Funktion
f(q, t). Beide Lagrangefunktionen sind gleichwertig. Man sagt auch, die Lagrangefunktion
ist nur bis auf eine totale Zeitableitung bestimmt.
Der Beweis der Gleichwertigkeit der Lagrangefunktionen bei Eichtransformationen
ist eine einfache Folgerung aus dem Hamiltonschen Prinzip. Wegen
δS ′
− δS = δ
t1
t2
dt df
dt
= δf(q, t)
t2
t1
=
f
∂f
δqn
∂qn
n=1
t2
t1
= 0,